Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere "Düzgün Katı Cisim" denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platon (Eflâtûn)’un isminden esinlenerek Platonik Cisimler de denilmiştir. Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yok.Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.
Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur. Sonuç olarak düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.
Beş Katı Cismin özellikleri
1. Tüm yüzeyler düzgün çokgendir
2. Bir köşede kaç yüz birleşiyorsa diğer köşelerde de o kadar yüz birleşmelidir
3. Bütün yüzeyler aynı büyüklükte ve eşit olmalıdır.
İLGİNÇ BİR SORU:Acaba bir portakalı klasik yöntemin (ortadan iki kesişte bölme) dışında eşit dört parçaya bölebilir miyiz?
Çözüm:Yanıt, bir düzgün dörtyüzlünün çevrel küresinde saklıdır. Eğer bu kürenin merkezine bir ışık kaynağı yerleştirirsek ve düzgün dörtyüzlünün kenarlarının küre üzerine gölgelerini düşürürsek birbirine eş dört parça elde ederiz. İşte bu parçalar yardımıyla küreyi (portakalı) dört eşit parçaya bölebiliriz. Tabi bu yöntem yardımıyla portakalınızı 6, 8, 12 ya da 20 eşit parçaya da bölebiliriz. Tek yapmamız gereken dörtyüzlü yerine diğer Platon katılarını kullanmak.
Konveks Çokyüzlüler
Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu yüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) çokyüzlü denir. Konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Euler Teoremi olarak bilinen bir bağıntı vardır.
Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2 (Euler Formülü)
Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (İspatı tümevarım ile yapılabilir)
Bazı bilim adamlarına göre, bu bağıntı Descartes’a aittir. Bunu ileri sürmelerinin sebebi de, Descartes’a ait olan bir teoremin doğrudan sonuçlarından birinin de yukarıdaki bağıntı olmasıdır. Ancak bu bağıntıyı ilk kez 1750 yılında açıkça ortaya atan kişi Euler olduğu bilinmektedir. Euler’in amacı, çokyüzlüleri sınıflandırabilmekti. Ancak bunu yapabilmek için sadece yüzlerin sayısı yeterli değildi; ayrıt köşe sayıları da incelenmeliydi. İşte Euler incelemeleri sırasında bu üç sayı arasındaki bağıntıyı keşfetti. Bağıntının kesin ispatı ise ancak 1847 yılında C.von Saudt tarafından yapılabildi.
0 yorum:
Yorum Gönder