Matematik ve Mantık

İnsan aklının bir ürünü olan matematik, bir bilim alanı olarak, insanlık tarihi kadar eskidir. Matematik, başlangıçtan günümüze kadar doğrultusundan ve tutarlığından hiçbir sapma yapmadan sürekli gelişen bir bilim alanı olmuştur; aynı zamanda bütün bilimlerin gelişmesine öncülük etmiştir. Uygarlığın ulaştığı bugünkü düzeyde matematiğin önemi, rolü açıklanmaya gerek duyulmayacak kadar açıktır. Gelecekte de matematiğin yol göstericiliği olmadan hiçbir bilimin gelişebileceği düşünülemez. Matematik, kendi içinde tutarlı, çelişkilerden arındırılmış, başka hiçbir bilim alanında olmayacak kadar sarsılmaz bir yapıya sahiptir.

Matematiği bu derece önemli yapan, sağlam kılan şey, temelinde akıl yürütmeyle çıkartılan evrensel kuralların olmasıdır; ya da bir başka deyişle, kesin kurallar içinde aklın süzgecinden geçmiş olmasıdır, denilebilir. Akıl yürütme ya da usavurma, doğru düşüncelerden başka doğruların çıkartılmasıdır. Şimdi burada düşünce nedir, doğru düşünce nedir gibi soruların açıklanmasına girmeyeceğiz. Bunların açıklanması mantık bilim alanı içine girer. Ancak esas konumuz olan önermeler için kısa değinmeler yapmak yerinde olur.

Düşünce, insan aklında oluşan zihinsel bir olgudur; dil aracılığıyla ortaya çıkar, tümcelerle ifade edilir. Düşünceyi konu alan birçok bilim alanı vardır; bunlardan biri de mantıktır. Mantık, doğru ve sistemli düşünmenin adıdır; aynı zamanda doğru ve sistemli düşünmenin yollarını arayan, kurallarını koyan bilim alanıdır. Belki de en eski bilim alanlarından biridir. Mantık bilim alanı düşünceyi her yönüyle ele almaz; bir yargı taşıyan düşünceler mantığın konusu içindedir. Dolayısıyla, bu tür düşüncelerin dildeki ifadesi olan yargı tümceleri mantığın konusu içindedir. Yargı tümcelerine bundan böyle önerme diyeceğiz. Önermenin açık tanımı aşağıda verilecektir. Mantığın konusu önermelerdir. Akıl yürütme "öncül önermelerden yargı çıkarma (hipotezden hüküm çıkarma)" olarak ifade edilebilir. Mantık bilimciler akıl yürütmeyle doğru bilgi üretmenin bilimsel yollarını tümdengelim ve tümevarım diye ikiye ayırırlar. Gerçeğe varmak amacıyla aklın uyması gereken genel düşünce yasalarını ve işlemlerini araştıran Aristoteles (İ.Ö. 384-322), tümdengelimi esas alarak, bugün Klasik Mantık dediğimiz mantık türünün temellerini atmıştır. İki bin yılı aşkın bir süre aklın yoluna egemen olan bu mantık türü, ortaçağ sonlarına doğru, yeni bilgi üretiminde tümdengelimin tek başına yeterli olamayacağı, tümevarımın da önemli olduğu görüşünün yaygınlaşmaya başlamasıyla yeni bir ivme kazanmıştır. 18. yüzyıla girildiğinde, Francis Bacon (1561-1626) ile başlayan tümdengelime karşı çıkış ve tümevarımın öne çıkarılması, matematikçilerin konuya ilgi duymaya başlamalarıyla yeni bir döneme girmiştir.

Alman matematikçilerinden G. Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) ile başlayan yeni yaklaşım, yine Alman matematikçi Friedrich L.G. Frege (1848-1925) in niceleyicileri ve değişkenleri simgelerle göstermesiyle matematiği tamamen mantıksal bir temele dayandırma çabaları hem mantığın gelişimini hızlandırmış hem de matematiğe yeni bir anlayış kazandırılmıştır. Böylece bu dönemde, De Morgan (1806-1871), G. Boole (1815-1864), B. Russel (1872-1970) ile geliştirilen ve simgesel akıl yürütme denilen yöntemle matematikselleşen mantık Modern Mantık (ya da sembolik mantık, matematiksel mantık) adını almıştır. Matematik ve mantığın tarihsel gelişimleri pek çok farklılık göstermesine rağmen, bugün bu iki bilim alanını kesin çizgilerle birbirlerinden ayırma olanağı yoktur. Önceleri matematiğin mantıksal bir temele dayandırılması biçiminde başlayan gelişmeler, sonradan mantığın matematikselleştirilmesine yol açmıştır. Dolayısıyla bu iki alan birbirlerinin içine girmiştir. Gene de bugün, Klasik Mantık, Felsefe bilim alanı ve Modern Mantık da Matematik bilim alanı içinde düşünülür. Bu ünitede, Modern Mantığın temel kavramlarını tanıyacağız. Önermeleri, önerme işlemlerini, kullanılan simgeleri ele alacağız. Önermelerin matematikteki yerini, önemini göreceğiz. Matematiksel kanıtın ne olduğunu, kanıtlama yöntemlerini gözden geçireceğiz. Açık önermeler konusu üzerinde duracağız. 1.2. Önermeler İçin Temel Kavramlar Dilimizdeki tümceleri emir, istek, ünlem, soru, yargı tümceleri diye sınıflarız.

Bizim konumuz yargı tümceleri olacaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim: (i) Ankara, Türkiye'nin başkentidir. (ii) Ankara, Türkiye'nin en kalabalık kentidir. (iii) Güneş kuzeyden doğar. (iv) Yağmur yağıyor. (v) 2 x 3 , 5 etmez. (vi) Buraya geliniz. (vii) Bugün günlerden nedir? (viii) Ah! güzel İstanbul. Yukarıdaki tümcelerin her birini okuduktan sonra "doğru mu?", "yanlış mı?" sorularını soralım. (i) ve (v) için yanıtınız "doğru", (ii) ve (iii) için "yanlış" olacaktır. (iv) deki yanıt o andaki duruma bağlıdır; o anda yağmur yağıyorsa "doğru", yağmıyorsa "yanlış" olacaktır. (vi), (vii), (viii) deki tümceler, için bu soruların anlamlı olmayacağı açıktır. Bu örneklerden anlaşılabileceği gibi kimi tümceleri taşıdıkları yargıya göre "doğru" ya da "yanlış" diye değerlendirebilmekteyiz. ((i) - (v) deki örneklerde olduğu gibi). İşte bu tür bir yargı tümcesine önerme diyeceğiz. Şimdi önermenin açık bir tanımını verelim. 1.2.1. Tanım Bir yargı taşıyan ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebilen tümcelere önerme denir. 1.2.2. Örnek Aşağıdaki tümcelerin önerme olup olmadıklarını belirleyiniz. (i) Kar beyazdır. (ii) Paris İngiltere'dedir. (iii) Nereye gidiyorsunuz? (iv) Uçan kuşlar kanatlıdır. (v) Sinemaya gidelim. (vi) Pırasa yararlı bir sebzedir. (vii) Yüzme tehlikeli bir spordur. (viii) { Bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce yanlıştır } Çözüm Bu tümcelerden (i) ve (iv) dekinin doğru, (ii) dekinin yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. O halde, (i), (ii) ve (iv) deki tümcelerin her biri birer önermedir. (iii) ve (v) deki tümceler yargı tümcesi olmadıklarından önerme değildirler. (vi) ve (vii) deki tümcelerin taşıdıkları yargı yanıtlayan kişiye göre değişecektir. Kimine göre yüzme tehlikeli bir spordur, kimine göre de değildir. Fakat bir kimse bu tümce için ya "doğru" ya da "yanlış" diyebilecektir; hem "doğru" hem de "yanlış" diyemeyecektir. O halde (vi) ve (vii) tümceleri de birer önermedirler. (viii) deki tümceyi ele alalım. Önce bu tümcenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman bu tümce yanlıştır, çünkü kendisi de bir ayraç içinde yazılıdır. Şimdi bu tümcenin yanlış olduğunu varsayalım. Öyleyse bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce doğru olacaktır, demektir. Bu nedenle bu tümce doğrudur. Böylece (viii) deki tümce hem doğru hem de yanlış olmaktadır; bir başka ifadeyle, bu tümcenin yargısı kesin olarak belirlenememektedir. Bu nedenle bu tümce bir önerme değildir. Aşağıdaki tümcelerden hangileri birer önermedir?

• Güneş doğudan doğar, batıdan batar.
• Dünya yuvarlaktır.
• Kimi canlılar ölümsüzdür.
• Oksijen yakıcı, hidrojen yanıcı bir gazdır.
• Bahçeye çıkalım mı?
• Kapınızı kilitli tutunuz. Verilen bir önerme yalnızca bir yargı taşıyorsa, böyle bir önermeye yalın önerme denir. Birden çok yargı taşıyan bir önermeye de bileşik önerme denir. Bileşik önermeler yalın önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlar yardımıyla elde edilirler. Bileşik önermeleri oluşturmak için kullanılan bu tür bağlaçlara mantık bağlaçları adı verilir. Örneğin, "Bugün hava soğuk ve yağışlıdır", "iki çift sayının toplamı bir çift sayıdır veya Ankara Türkiye'nin başkentidir." önermeleri bileşik önermelerdir. Bunlardan birincisi "ve", ikincisi "veya" bağlacıyla yalın önermelerden elde edilmişlerdir. Yine ikincisinden görüldüğü gibi iki yalın önermenin bir mantık bağlacıyla bağlanması için bu yalın önermeler arasında bir ilişki olması gerekmez. Ayrıca "ve" bağlacıyla birleştirilen önermelerde "ve" sözcüğü yerine "virgül" konulabilir: "Bugün hava soğuktur, yağışlıdır" örneğinde olduğu gibi.

Önermeleri ve mantık bağlaçlarını simgelerle göstermek, önerme işlemlerini simgelere dayandırmak hem kısalık hem de kolaylık sağlayacaktır. Bu nedenle genellikle yalın önermeleri p, q, r, ... gibi küçük harfler ile "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" mantık bağlaçlarını da, sırasıyla, "∧", "∨", "→", "↔" simgeleriyle göstereceğiz. Sözgelişi p: Bugün hava soğuktur, q: Bugün hava yağışlıdır yalın önermelerinden "ve" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p ∧ q: Bugün hava soğuk ve yağışlıdır olur. p, q önermelerinden "ise" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p → q: Bugün hava soğuk ise yağışlıdır biçiminde yazılır. Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri adı verilir. Doğru bir önermenin doğruluk değerini D, yanlış bir önermenin doğruluk değerini Y ile göstereceğiz. Yalın bir önermenin doğruluk değerini kolayca belirleriz. Bileşik bir önermenin doğruluk değeri ise, söz konusu bileşik önermeyi oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarına bağlı olarak tanımlanır. Bir önermenin doğruluk değeri seçeneklere bağlı olarak bir çizelge ile gösterilebilir. Böyle bir çizelgeye, o önermenin doğruluk çizelgesi adı verilir. Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin belirlenmesinde sıkça başvuracağımız doğruluk çizelgeleri önerme işlemleri için de yararlı bir araç olacaktır.