Matematik Günlüğü

Pisagor Bağıntısı ve Özellikleri

2011-12-15T09:54:00.001-08:00

M.Ö. 570 - M.Ö. 495 tarihleri arasında yaşamış olan İyonyalı filozof (Pythagoras) Pisagor'un bulmuş olduğu ,dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi anlatan bir kuraldır.Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, diğer dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Bu bağıntıya (Pythagoras) Pisagor Bağıntısı denir.Hipotenüs 90 derecenin karşısındaki kenardır. 90 derecelik açıyı oluşturan kenarlar da dik kenarlardır.

Pisagor Bağıntısını Sağlayan Kenar Uzunlukları Rasyonel Sayı Olan Bazı Özel Dik Üçgenler:
1) 3 - 4 - 5 DİK ÜÇGENİ:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 3'ün , 4'ün katları ise, hipotenüsü de 5'in katıdır.Bu dik üçgenin kenar uzunluklarının genişletilmiş halleri de Pisago Bağıntısı'nı sağlar.
ÖR: 6 - 8 -10 , 9 -12 - 15 , 12 - 16 - 20 v.b.

2) 5 - 12 - 13 DİK ÜÇGENİ:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 5'in , 12'nin katları ise, hipotenüsü de 13'ün katıdır.

3) 8 - 15 - 17 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 8'in , 15'in katları ise, hipotenüsü de 17'nin katıdır.

4) 7 - 24 - 25 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 7'in , 24'in katları ise, hipotenüsü de 25'in katıdır.

5) 11 - 60 - 61 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 11'in , 60'ın katları ise, hipotenüsü de 61'in katıdır.

6) 9 - 40 - 41 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 9'in , 40 ın katları ise, hipotenüsü de 41'in katıdır.

7) 13 - 84 - 85 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 13'ün , 84'in katları ise, hipotenüsü de 85'in katıdır.

PİSAGOR BAĞINTISININ ÖZELLİKLERİ:

1)Kare ve dikdörtgenin köşegenleri, eşkenar ve ikizkenar üçgen yüksekliği bu bağıntıyla bulunur.
2) 30-60-90 derecelik açılara sahip dik üçgenlerde Pisagor Bağıntısı kullanılır.

3) 45-45-90 derecelik açılara sahip dik üçgenlerde Pisagor Bağıntısı kullanılır.

Pisagor Bağıntısının Kullanıldığı Alanlar:
Pisagorculuk; evrende her şeyin bir sayıya bağlı olduğunu öne sürer. Örnek vermek gerekirse % rengin, 6 soğuğun, 7 sağlığın, 8 aşkın nedenidir Pisagora göre.Pisagorun öğretisinde; düzgün geometrik şekiller de önem taşır. Örneğin Pisagor yeryüzünün düzgün altı yüzlüden, ateşin piramitten, havanın düzgün sekizyüzlüden, suyun yirmiyüzlüden yaratıldığına inanır. Pisagorcuların sayılara ve şekillere verdikleri gizemci anlamlar bu kişilerin sayıları ve geometrik şekilleri yakından incelemesine de neden oldu doğal olarak. Bunlar arasında en önemlileri Pisagor Teoremi ile İrrasyonel Sayının bulunmasıdır.Pisagor, müzikle de uğraştı. Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katı ise, kısa telin çıkardığı ses, uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstündeydi. Eğer tellerin uzunluklarının oranı 3ün 2ye oranı gibiyse, iki telin çıkardığı sesler beşli aralıklı idi. Bu nedenle örneğin bağlamada parmağımızı tellerden birinin ortasına bastığımız zaman, teli titreştirirsek çıkacak olan ses, tel boş titreşirken çıkacak sesin bir oktav üstünde olacaktır. Benzer şekilde eğer parmağımız teli uzunluk 2/3 oranında bölen noktadaysa, telin boş durumuna oranla bir beşli aralık yukarda ses çıkacaktır Pisagora göre.
Pisagor Astronomi ile de uğraşmıştır Pisagor; sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu anlayan ilk Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit ile anıldı. Bugün bunun Venüs Gezegeni olduğunu bilyoruz. Pisagor, gerek dayandığı öğrenci kitlesi gerekse öğretisinin içerdiği temel öğeler bakımından soylulara yatkın bir felsefeciydi. Pisagorun ölümünden 10 yıl kadar önce, Güney İtalyada demokratların egemenlik kurmasıyla Pisagorculuk ve Pisagorculuk yaygın bir şekilde kovuşturmaya uğradı.

Pascal Üçgeni (Ömer Hayyam Üçgeni)Nedir?Nerelerde Kullanılır

2011-12-14T13:00:00.000-08:00

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.Pascal üçgeni denilse de asıl bulan kişi Ömer Hayyam'dır.

Pascal Üçgeninin Özellikleri
1)Pascal üçgeninde her satırın başında ve sonunda 1 sayısı yer alır.
2)Bir alt satırda ortada yer alan sayı bir üst satırdaki yan yana iki sayının toplamıdır.

3)Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler aynıdır.
Örneğin; 1 5 10 10 5 1 satırında baştan 2.terim ve sondan 2.terim aynı sayı yani 5 tir.
4)Pascal üçgenindeki katsayılar Binom Açılımı denilen iki terimlilerin toplamının yada farkının kuvvetlerini {(a+b)n veya (a-b)n} bulurken ortaya çıkan katsayıları belirlemeye yarar.
5)Pascal Üçgeninde değişik sayı dizileri görülür.
a)Yukarıdan başlayarak çapraz bir şekilde terimler toplamına bakıldığında Fibonacci Dizisi'nin terimleri elde edilir.

b)Yine çapraz bakıldığında Ardışık Sayılar Dizisi ve Üçgensel Sayılar Dizisi göze çarpar.

Resimde turuncu çapraz sayı dizisi ardışık sayılar,yeşil çapraz sayı dizisi ise üçgensel sayılar dizisidir.
6)Aynı yöndeki sayıların toplamı en sonda yer alan sayın ters yönünde bulunan sayıya eşittir.

7)Her satırda yer alan sayıların toplamı 2 sayısının kuvvetlerini verir.Bunu formül olarak 2 üssü n-1 şeklinde ifade edebiliriz.
Örneğin;
1.satır için ; 1 ------ 2 üssü 0 = 1
2.satır için ; 1 + 1 = 2 ----- 2 üssü 1 = 2
3.satır için ; 1 + 2 + 1 = 4 -------- 2 üssü 2 = 4
4.satır için ; 1 + 3 + 3 +1 = 8 ------- 2 üssü 3 = 8
5.satır için ; 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ------ 2 üssü 4 = 16

HAZIRLAYAN:Zafer GÜVEN

Fibonacci Sayıları

2011-12-14T12:50:00.000-08:00

Fibonacci dizisi sayıları ,İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (D.1170-Ö.1250) tarafından keşfedilmiş,terimleri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … vb. olan sayı dizisidir. Bu sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar.Bu sayı dizisinin ortaya çıkmasına sebep olarak bir problem gösterilir.

Liber Abaci adlı eserde yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

"Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Problemin çözümü 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... olarak karşımıza çıkar.Çünkü ilk başta 1 çift tavşan var.İkinci ay yine 1 çift tavşan (aynı tavşanlar) olur.Çünkü yavru iken ergen oldular.Sonra 3.ay yavruladılar ve toplamda 2 çift tavşan oldu.(bir çift ergin,bir çift yavru).4.ay 1 çift erginden 1 çift yavru meydan geldi.1 çift yavrumuz ergin oldu.Toplamda 3 çift tavşan oldu.Bu şekilde devam edildiğinde karşımıza Fibonacci sayı dizisi çıkmış oluyor.Sanırım 100.ayda 354.224.848.179.261.915.075 çift tavşan oluyordu.

Bu da şekilli anlatımı:

yada

FİBONACCİ SAYI DİZİSİNİN ÖZELLİKLERİ ve KARŞILAŞILAN YERLER:

1)Her bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.
ÖR:1+1=2 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 ......... 89+144=233 gibi.

2)Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

3) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.
Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

4)Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

5) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez'i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

6) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

7) Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.
HAZIRLAYAN:Zafer GÜVEN

Nasîrüddin Tûsî (1201-1274)

2011-11-20T11:59:00.000-08:00

Nasureddin Tusi, 1201 ile 1274 yıllarında yaşamış Fars bilgini, islam filozofu. Sözkonusu dönem, Moğol istilası sebebiyle Bağdad'da, bir yandan karanlık bir dönem bir yandan da önemli düşünce okullarının kurulduğu ve islam bilim kurumlarının açıldığı bir dönem oldu. Nasîrüddin Tûsî'de bu dönemde yetişmiş Şiî dünyasının tanınmış bir bilgesi olmuştur.Nasîrüddin Tûsî, babasının ve dayısının etkisiyle erken yaşlardan itibaren kelâm, felsefe ve matematik ile ilgilenmeye başladı. Felsefi gelişmesinin belirli bir evresinde İbn-i Sina'nın İşârât'ını okudu ve uzun yıllar bu metinle uğraştı. Bu uğraşmaların ardından en önemli eserlerinden biri sayılan Şerh-i İşârât´ı kaleme aldı.Kemalûddin Hâsip'ten matemetiği ve Burhanüddin Hamedanî'den hadisleri öğrendi. Pek çok bilgi dalıyla ilgilendi ve derinleşmeye çalıştı; tanınmış bilginler yetiştirdi (Allâme Hillî, Kutbüddin Şirvanî gibi).İsmaili mezhebinden ve edebiyat, tasavvuf ve felsefe ilgilisi Nasîrüddin Ebu'l-Feth b.Mansûr'nin meclisinde yer aldı. Abbasi halifesi El-Mûtasım'ı öven bir kaside yazdıktan sonra araları açıldı ve sürgüne gönderildi.Hassan Sabah'ın yedinci halefi Khudavend Alaüddin aracılığıyla Alamut kalesinde saklandı. Daha sonra, 1247'ye kadar, yarı tutuklu olarak Meymûn Daye kalesinde tutuldu. Moğolların kaleleri ele geçirmesiyle serbest kaldı.

Moğol hükümdarı Hülâgu'nun müşaviri olarak görev aldı ve bütün bilimsel ve felsefi çalışmalarında ondan destek aldı. Ünlü Marâgâ Rasathanesini bu sırada kurdu ve bu kurum en büyük islam bilim kurumlarından biri olarak yer aldı. Rasathanenin yanında büyük bir kütüphane kurulması da gerçekleştirildi, burada dört yüz bin kitabın toplandığı sanılmaktadır. Hûlagü han bir yandan Bağdadı yakıp yıkan bir yandan da orada yeniden bilim kurumlarının kurulmasını destekleyen kişi oldu. Daha sonraki hükümdar Abaka Han tarafından da destek gördü ve yaşlılığında bu destek sayesinde önemli eserlerini üretti.Nasîrüddin Tûsî, islam felsefesinde yeni bir felsefe ekolü ortaya koymamıştır, ancak yine de felsefi çalışmaları derinlik ve kapsamıyla etkili olmuş bir bilge olarak yer edinmiştir. Daha çok meşşai filozoflarının yolundan gitmiş olduğu söylenebilir, onların felsefi tezlerini Şiiliğin prensiplerine uyarlamaya çalıştı. İslam dünyasında ilk defa bir sistematik etik kitabını yazan kişi oldu. Sisteminde Aristoteles'in ahlak ilkeleriyle Gazâli'nin mistik ve tasavufi ahlak düşünceleriyle bir arada değerlendirmeye çalıştı. Bir tür sentez arayışında oldu. Bu ahlak felsefesinin bir bölümünü de eğitim konusundaki düşünceleri oluşturmaktadır. Ona göre çocuğun doğumundan itibaren ona uygun bir ad verilmeli (çünkü adlar kader üzerinde etki yapar), iyi bir sütanneye sahip olmalı ve yetişme döneminde çocuk kötü huy edineceği ortamlardan korunmalıdır. Bu süreçte ona aklını kullanmasını ve akıl yoluyla elde edilen erdemleri sevmesini öğretmek gerekir. Arzularına hakim olmanın ve kendini tutmanın bir erdem olarak öğretilmesi gerekir. Bundan sonra ise çocuk hangi sanata ya da ilgiye yetenekli ise ona yönlendirilmeli ve özendirilmelidir.Şerh'i İşârat (temel felsefe kitabı, 20 yılda hazırlanmış)

KİTAPLARI:

Zic-i İlhânî (astronomi hakkında)

Tecrid-ül-akâid (kelam kitabı)

Tezker-i hayat

Tahrir-i Öklides

Tahrir-ül-Macestî

Esas-ül-iktibas (Mantık kitabı)

Esraf-ül-eşraf

Ahlak-ı Nâsırî

Fusul

El-Mesail El-Hayriyat

Bahnâme (Tıp bilimi kitabı)

El-Harezmi (780-850)

2011-11-20T11:56:00.000-08:00

Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harezmi ((Farsça: - xarazmi, Arapça: Abū Abdullāh Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī), matematik, gökbilim ve coğrafya alanlarında çalışmış bir Fars bilim adamıdır. 780 yılında Harzem bölgesinin Hive şehrinde dünyaya gelmiştir. 850 yılında Bağdat'ta vefat etmiştir.

Ebu Abdullah Muhammed bin El-Harezmi 780 yılında Özbekistan'ın Karizmi kentinde dünyaya gelmiştir. Horasan bölgesinde bulunan Harezm'de temel eğitimini alan Harezmi, gençliğinin ilk yıllarında Bağdat'taki ileri bilim atmosferinin varlığını öğrenir. İlmî konulara doyumsuz denilebilecek seviyedeki bir aşkla bağlı olan Harezmi ilmi konularda çalışma idealini gerçekleştirmek için Bağdat'a gelir ve yerleşir. Devrinde bilginleri himayesi ile meşhur olan Abbasi halifesi Mem'un Harezmi'deki ilim kabiliyetinden haberdar olunca onu kendisi tarafından Eski Mısır, Mezopotamya, Yunan ve Eski Hint medeniyetlerine ait eserlerle zenginleştirilmiş Bağdat Saray Kütüphanesi'nin idaresinde görevlendirilir.

Cebir sözcüğü de Harezmi'nin "El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele” (Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap) adlı eserinden gelmektedir. Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk müstakil cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır.
Matematik alanındaki çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritmi de numero Indorum adıyla Latince'ye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır, 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur. Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı kitabı, matematik tarihinde, birinci ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümlerinin yer aldığı ilk eserdir. Bu nedenle Harezmî (Diophantus ile birlikte) "cebirin babası" olarak da bilinir. İngilizce'deki "algebra" ve bunun Türkçe'deki karşılığı olan "cebir" sözcüğü, Harezmî'nin kitabındaki ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan "el-cebr"den gelmektedir.

Coğrafya alanında da tanınmış biridir ve coğrafya alanında birçok araştırmalar yapmıştır.

Matematik ile alakalı eserleri
El- Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebri ve'l Mukabele
Kitab al-Muhtasar fil Hisab el-Hind
El-Mesahat
Matematik alanındaki çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin (bkz. onluk sistem) kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritmi de numero Indorum adıyla Latince'ye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur.

Astronomi ile alakalı eserleri
Ziyc'ul Harezmi
Kitab al-Amal bi'l Usturlab
Kitab'ul Ruhname

Coğrafya ile alakalı eserleri
Kitab surat al-arz

Tarih ile alakalı eserleri
Kitab'ul Tarih

Gıyaseddin Cemşid al-Kaşi

2011-11-20T11:51:00.000-08:00

Gıyaseddin Cemşid al-Kaşi,(~ 1380, Kaşan, Iran - 22 Haziran 1437, Semerkand) 14. yüzyılın son yarısında, Kaşan’da doğmuş bir Hekim, Matematikçi ve Gökbilim adamıdır.Doğum ve ölüm tarihi kesin olarak bilinmemektedir. Öğrenimini Kaşan’da tamamlamış, Uluğ Bey'in daveti üzerine Semerkand'a gitmiş ve çalışmalarına burada devam etmiştir. Matematik ve astronomi üzerine çalışmaları olan al-Kaşi, aritmetikte ondalık sistemi ilk kullanan kişidir. Meraga Gözlemevi’nde yapılmış olan gözlemleri içeren İlhan’ın Zici adlı zicteki tabloları yeniden hesap ederek İlhan’ın Zici’ni tamamlayan Hakan’ın Zici adlı eserini yazmıştır; Süllem el-Sema adlı eserinde ise gök cisimlerinin uzaklıkları sorununu tartışmıştır.

Gıyaseddin Cemşid al-Kaşi’nin en önemli eseri, Ortaçağ İslâm Dünyası’ndaki matematik bilgisini bütün yönleriyle serimlediği Matematiğin Anahtarı adlı kitabıdır; bu eserinin bir bölümünde ondalık kesirleri kuramsal yönden incelemis ve bu kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetiksel işlemlerin nasıl yapılacağını örnekleriyle göstermiştir; burada vermiş olduğu bilgiler daha sonra 16. yüzyılın Osmanlı ünlü matematikçilerinden ve astronomlarından Takiyüddin (Arapça:Taqī al-Dīn Abū Bakr Muhammad ibn
Qādhī Ma'rūf ibn Ahmad al-Shāmī al-'Asadī al-Rāsid) tarafından kullanılacak, trigonometri ve astronomiye uygulanarak geliştirilecektir.
Usule uygun, sin 1° belirlemek için Gıyaseddin Cemşid al-Kaşi aşağıdaki çözümü bulmuş, sonraları 16. yüzyılda Fransız matematikçilerinden François Viète tarafından sık sık kullanılmıştır.

Eserleri:
Khagani Zij (1413)
Ar-Risala al-Muhitija (1424)
Miftah al-Hisab, (1427)

9.Sınıf Matematik Yazılı Soruları

2010-11-12T12:24:00.000-08:00

1.ÖRNEK:

2.ÖRNEK:
NOT:Dosyayı indirmede sıkıntı çeken olursa açılan sayfada önce en altta ÜCRETSİZ yazan kısma ,sonra DOSYAYI İNDİR yazan kısma tıklayın.Çıkan kısımdaki kodu yazıp,Dosyayı indir deyin.Geri sayım bittikten sonra indirin.
İNDİR:
http://shareflare.net/download/21796.2140f2dd35f382249e8734c4f560/9.s_n_f_matematik_sorular_.rar.html

2010-2011 Matematik 6-7-8 Yıllık Planları

2010-09-06T09:45:00.000-07:00

2010-2011 Matematik 6-7-8 Yıllık Planlarına aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz.
http://shareflare.net/download/48873.48be107e6c7c57f355a49e5353311e81d/2010-2011_Matematik_6-7-8_Y__ll__k_Planlar__.rar.html

NOT:Dosyayı indirmede sıkıntı çeken olursa açılan sayfada önce ÜCRETSİZ yazan kısma ,sonra DOSYAYI İNDİR yazan kısma tıklayın.Çıkan kısımdaki kodu yazıp,Dosyayı indir deyin.Geri sayım bittikten sonra indirin.

Beyninizin Hangi Tarafı Daha Gelişmiş Öğrenin!!

2010-08-28T02:45:00.000-07:00

Beynimizin sağ ve sol tarafı ayrı ayrı görevler üstlenmiş. Ve hangi tarafın daha gelişmiş olduğuna bağlı olarak yeteneklerimiz şekilleniyor. Sizde beyninizin hangi tarafının daha gelişmiş olduğu hakkında fikir edinmek için bu kısa teste göz atın.

1-Okuldayken hangi dersleri daha çok severdiniz?
a) Türkçe, Resim, Sosyal vb.
b) Fenle ilgili olanları

2-Hangi tip sporları yapmaktan hoşlanırsınız?
a) Tek başına yapılan sporları
b) Takım sporlarını

3-Gördüğünüz rüyaları ne sıklıkta hatırlarsınız?
a) Çoğunlukla hatırlarım
b) Ender olarak hatırlarım

4-Ellerinizi ve mimiklerinizi konuşurken ne kadar kullanırsınız?
a) Çok kullanırım
b) Çok az kullanırım

5-İki elinizin parmaklarını birbirine geçirerek kapatın. Hangi elinizin baş parmağı üstte kalıyor?
a) Sağ
b) Sol

6-Şu an saatin kaç olduğunu tahmin edin, şimdi saate bakın, yanılma payınız ne kadar?
a) On dakikadan fazla
b) On dakikadan az

7-Aşağıdakilerden hangisini daha kolay hatırlarsınız?
a) İnsanların yüzlerini
b) İnsanların isimlerini

8-İki gözünü açık tutarak elinizde ki kalemi, bir cam kenarı veya kapı kenarı ile hizalayın. Önce sol gözünüzü, sonra sağ gözünüzü kapatın. Hangi gözünüzü kapatınca kalem daha az oynuyor?
a) Sol gözümü kapatınca
b) Sağ gözümü kapatınca

DEĞERLENDİRME

—”A” ların sayısı fazla ise, SAĞ beyniniz daha gelişmiştir…
—”B” lerin sayısı fazla ise, SOL beyniniz daha gelişmiştir…

***Ben SAĞ beyinli biriyim, çünkü…
-hayal ederim
-duyduklarımı unutmam
-hissederim
-koku alma tad alma benim için çok önemlidir
-sezgilerimi kullanırım
-iç güdülerim kuvvetlidir
-yeni şeyler üretirim
-subjektifim
-boyutları iyi algılarım
-ritim duygum gelimiştir
-bir bütün olarak görürüm
-duygularımla hareket ederim…

***Ben SOL beyinli biriyim, çünkü…..
-mantık yürütürüm
-lineer düşünürüm
-sınıflandırır-isimlendirir
-dizer listeler yaparım
-analiz ederim
-yapı incelerim
-matematiksel işlemler yaparım
-bilinçli hareket ederim
-dili doğru kullanırım
-detayları görürüm
-inceler ve odaklanırım
-bütünü değil parçayı görürüm
-sistemli ve disiplinli çalışırım
-objektif davranırım…

TÜBİTAK BİDEB Olimpiyatları Matematik Soruları

2010-08-28T02:35:00.000-07:00

TÜBİTAK'ın BİDEB (Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığı) isimli kurumunu her yıl, bilim dünyasında yer almak isteyenleri seçmek, onların çalışmalarına yardımcı olmak, bilim yolunda ilerleyen küçük bilimadamları yetiştirmek için burs ve eğitim programları ile ödüllendirilen olimpiyatlar düzenlemektedirler. İlki 1997 yılında düzenlenen bu olimpiyatlarda Matematik, Fizik, Kimya, Biyoloji, Bilgisayar alanlarında sorular sorulmaktadır.

Matematik alanında ilköğretim matematik adı altında ayrı bir dalda da sorular gelmektedir. Bu olimpiyatların sonucunda birçok başarılı öğrenci farkedilmekte ve onlara destek verilmektedir. Aşağıdaki bağlantılardan bu olimpiyatlarda Matematik dalı altında sorulan matematik sorularını bulabilirsiniz.

1998 yılı 4. Ulusal İlköğretim Matematik ve 6. Ulusal Matematik Olimpiyatları
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/1998_4.ilkog_6.ulusalmat_olimp.pdf
1999 yılı 4. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/1999_4.ulusalilkogmat_olimp.pdf
1999 yılı 7. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/1999_7.ulusalmat_olimp.pdf
2000 yılı 5. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2000_5.ulusalilkogmat_olimp.zip
2000 yılı 8. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2000_8.ulusalmat_olimp.zip
2001 yılı 6. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2001_6.ulusalilkog_mat_olimp.zip
2001 yılı 9. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2001_9.ulusalmat_olimp.zip
2002 yılı 7. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2002_7.ulusalilkogmat_olimp.zip
2002 yılı 10. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2002_10.ulusalmat_olimp.zip
2003 yılı 8. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2003_8.ulusalilkogmat.zip
2003 yılı 11. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2003_11.ulusalmat_olimp.zip
2004 yılı 9. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2004_9.ulusalilkogmat_olimp.zip
2004 yılı 12. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2004_12.ulusalmat_olimp.zip
2005 yılı 10. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2005_10.ulusalilkogmat_olimp.zip
2005 yılı 13. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2005_13.ulusalmat_olimp.zip
2006 yılı 11. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2006_11.ulusalilkog_mat.zip
2006 yılı 14. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2006_14.ulusalmat_olimp.zip
2007 yılı 12. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2007_12.ulusalilkogmat_olimp.zip
2007 yılı 15. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2007_15.ulusalmat_olimp.zip
2008 yılı 13. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2008_13.ulusalilkogmat_olimp.zip
2008 yılı 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı
http://www.tubitak.gov.tr/tubitak_content_files/BIDEB/olimpiyat/Olimpiyat_sorulari/2008_16.ulusalmat_olimp.zip
Kaynak: Tübitak

9.Sınıf Yaş Problemleri

2010-08-09T04:49:00.000-07:00

9.sınıf yaş problemlerini aşağıdan indirin.
http://www.calismayapragi.com/wp-content/yasproblemleri.rar

6.Sınıf Matematik Test

2010-08-09T04:43:00.000-07:00

6. SınıF Matematik TestLeri

İNDİRMEK İÇİN AŞAĞIDAKİ LİNKE TIKLAYIN:
http://rapidshare.com/files/105025667/6._SINIF_MATematik_testleri.rar

2010 Yılı 5,9,10 ve 11.Sınıflar DPY ve Bursluluk Sınav Sonuç

2010-08-06T10:36:00.000-07:00

2010 Yılı 5,9,10 ve 11.Sınıflar DPY ve Bursluluk Sınav Sonuçlarını aşağıdaki linkten öğrenebilirsiniz.
http://www.meb.gov.tr/sinavlar/sorgu/dpy/Ss/2010/Dpy_Frm_5_9_10_11.asp

2010 Yılı 6,7,8.Sınıflar DPY ve Bursluluk Sonuçları

2010-08-06T10:34:00.000-07:00

2010 Yılı 6,7,8.Sınıflar DPY ve Bursluluk Sonuçlarını aşağıdaki linkten öğrenebilirsiniz.
http://www.meb.gov.tr/sinavlar/sorgu/dpy/Ss/2010/Dpy_Frm_6_7_8.asp

Kavram Bulmaca

2010-08-06T10:24:00.001-07:00

Yine özellikle 6.sınıf öğrencilerine yönelik kavram bulmacası.iyi eğlenceler.

Tanım Bulmaca

2010-08-06T10:23:00.001-07:00

Güzel bir tanım bulmaca.Özellikle 6.sınıf öğrencileri içindir.İyi eğlenceler.

Artık Yıl Nedir?

2010-08-06T10:21:00.000-07:00

Bilindiği üzere 1 yıl = 365 gün ve 6 saattir.4 yılda bir bu 6 saat 4 x 6 = 24 saat,yani 1 gün birikmiş olur.İşte bu 1 günün eklendiği yıllara "Artık Yıl" denir.O yıl 366 gün olur.Artık yıl olan yıllarda Şubat ayı 29 çeker.

Gelelim bize verilen herhangi bir yılın artık yıl olup olmadığını nasıl anlayacağımıza.....

1) Eğer bir yılın son iki rakamı "00" değilse ve bu sayı 4 e tam bölünebiliyorsa bu yıl artık yıldır.

Örnek: 2008 yılı artık yıldır.Son iki rakamı "00" değildir ve 4 e bölünebilen bir sayıdır.

2) Eğer bir yılın son iki rakamı "00" ise bu sayının 400 e tam bölünmesi durumunda yine bu yıl yine artık yıldır.

Örnek: 2000 yılı artık yıldır.Son iki rakamı "00" ve 400 e bölünebilen bir sayıdır.

ALINTI: http://www.forumincisi.com/6-siniflar/artik-yil-nedir-t3515.html

Cebir Sarmalı Oyunu

2010-08-06T10:18:00.000-07:00

İki yada daha fazla kişi ile oynanabilecek,özellikle 6.sınıf seviyesine uygun bir oyun.Bakalım kim kazanacak?Kullanılacak malzemeler ve oyunun kuralları resim üzerinde yer almaktadır.

Noktaları Birleştirelim

2010-08-06T10:14:00.001-07:00

Verilen soruların doğru cevaplarını bularak noktaları birleştirin.Bakalım ne çıkacak.Özellikle 6.sınıf seviyesi için uygundur.

Boya Bul

2010-08-06T10:13:00.000-07:00

Verilen soruların matematiksel cevaplarını aşağıda yer alan kısımdan bularak boyayınız.Özellikle 6.sınıf seviyesi içindir.

Sayıları Yerleştirin (Bulmaca)

2010-08-06T10:10:00.000-07:00

Hadi bakalım sayıları verilen soruların cevapları olarak doğru yerlerine yerleştirin.Özellikle 6.sınıf öğrenci seviyesine uygundur.

ESBCalc 2.1 Hesap Makinası Ücretsiz

2010-07-18T07:01:00.000-07:00

Gelişmiş özelliklere sahip bir hesap makinası. Trigonometrik, hiperbolik, logaritmik gibi pek çok fonksiyon içeriyor.

İNDİR:
http://www.inndir.com/ESBCalc-675i.html

4 İşlem 1.0a

2010-07-18T06:53:00.000-07:00

Tanıtım:
Üreticinin Açıklaması : İlköğretim 1-2. Sınıflar için hazırlanmış, Toplama, çıkarma, çarpma, bölme egzersizlerini yapabileceğiniz eğitici ve öğretici bir programdır.

Programdaki Bölümler :

# Toplama
# Çıkarma
# Çarpma
# Bölme
# Çarpım Tablosu
# Doğal Sayılarla Ritmik Sayma
# Paralarımız
# Mevsimler
# 5 Farklı Sayı oyunu
# 14 Adet test

Editörden : 4 işlem, özellikle ilkokul 1 ve 2. sınıflar için hazırlanmış hem eğlendirici, hem de öğretici bir program. Bu yazılımla çocuklarımız kendi kendilerini test edebilirler ve dersten sıkıldıkları anda da zeka geliştirici mini oyunlarla vakit geçirebilirler. Program tamamen ücretsiz olarak hazırlanmış ve Windows ile gelen öğretici sihirbaz amca eklentisi ile zenginleştirilmiş. Biz denemelerimizde hiçbir zararlı ek yazılıma ve probleme rastlamadık. Bu Türk yapımı ve ücretsiz yazılımı tüm ilkokul velisi ebeveynlerimize rahatlıkla tavsiye ederiz.

İNDİR:
http://www.inndir.com/4_%C4%B0%C5%9Flem-41176i.html

Çocuklar İçin Matematik 1.4 Ücretsiz

2010-07-18T06:44:00.000-07:00

Tanıtım:
Odesa Çocuklar İçin Matematik Programı; Çocuklarımıza Matematiği sevdirebilmek ve aritmetiklerini geliştirebilmeleri için, ilkokul üçüncü sınıf seviyesine kadar olan çocuklarımız için hazırlandı.

Hazırlanan program üç kısımdan oluşmakta :

# Toplama Alıştırmaları,
# Çıkarma Alıştırmaları
# Yağmur Oyunu.

Her bölümün arka planı; çoğumuzun okullarımızdan hatırlayacağı kara tahta şeklinde ama rengarenk görünümle ve çizgi film müzikleriyle desteklendi.

Programın basit de olsa bir yapay zekası mevcuttur.

# Toplama Alıştırmaları Kısmı :
Örneğin : 4+9 şeklindeki toplama işlemini çocuğumuza sorarken içinden cevabı seçebilmesi için 4 adet cevap şıkkı onu bekliyor. Ve çocuğumuz yanlış bir cevap verdiğinde program o seçeneği silip üzerine yanlış cevap yazıp çocuğumuzdan tekrar cevap vermesini bekliyor.

# Çıkarma Alıştırmaları Kısmı da Toplama Alıştırmaları kısmı ile aynı mantıkla çalışmaktadır.

# Yağmur Oyunu Kısmı :
Ekrandaki arka plandan sırayla toplama işlemleri aşağı doğru iniyor ve tahtanın en alt kısmına ulaşmadan önce çocuğumuzun alttaki kutucuğa cevabını girip enter tuşu ile cevap vermesi gerekiyor.

Bu oyun tahta soldan sağa dolana kadar devam ediyor ve sonunda çocuğumuzun toplam puanını ve kaç doğru cevap verdiğini söylüyor.

Bu şekilde hızlıca inen işlemleri yapmak çocuklarınızın bir taraftan aritmetiğini geliştirirken diğer taraftan onların eğlenerek öğrenmesini, dikkatlerini, reflekslerini geliştirmelerini sağlıyor.

NOT : Programın Yağmur Oyunu kısmında şidmilik bir runtime hatası bulunmakta, bu sorun üreticiye bildirilmiş olup, en kısa zamanda düzeltileceğinden emin olabilirsiniz.

İNDİR:
http://www.inndir.com/%C3%87ocuklar_%C4%B0%C3%A7in_Matematik-41503i.html

2010 SBS Sınavı 6.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığı

2010-06-12T14:58:00.000-07:00

NOT:Resimleri tam görmek için üzerine tıklayınız.

2010 SBS Sınavı 6.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığına ait olmak üzere tarafımdan hazırlanmıştır.

Hazırlayan:Zafer GÜVEN

2010 SBS Sınavı 7.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığı

2010-06-07T08:09:00.000-07:00

NOT:Resimleri tam görmek için üzerine tıklayınız.

2010 SBS Sınavı 7.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığına ait olmak üzere tarafımdan hazırlanmıştır.

Hazırlayan:Zafer GÜVEN

2010 SBS Sınavı 8.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığı

2010-06-05T23:44:00.000-07:00

NOT:Resimleri tam görmek için üzerine tıklayınız.

2010 SBS Sınavı 8.Sınıf Matematik Soru ve Cevapları A Kitapçığına ait olmak üzere tarafımdan hazırlanmıştır.

Hazırlayan:Zafer GÜVEN

FX Graph v3.210.5 Matematiksel Grafik Çizme Programı

2010-05-26T01:16:00.000-07:00

Özellikle lise öğrencileri için faydalı olabilecek bir program.Parabol ve grafik çizimleri için tasarlanmış bir program.

Most graphing packages offer powerful features but they are difficult to learn, difficult to teach and difficult to use. Many schools spend more time teaching students how to use the program rather than actually using it. FX Graph is different - it is dead simple. So simple that secondary students will be using it to solve problems within minutes of first seeing it.

As a quick example, think how long it would take you to draw this graph, with the annotations, in your current graphing package. In FX Graph 3 it takes seconds. FX Graph finds all the points of interest and displays them automatically as you move your mouse around the screen. One click and the annotation is added to the graph.

Boyut:6 MB

İNDİR:
http://shareflare.net/download/72807.723d2b1e34bd91ab69142d97b/FX_Graph_v3.210.5.rar.html

ALTERNATİF:
http://hotfile.com/dl/44832458/b4c9ffb/FX_Graph_v3.210.5.rar.html

ALINTI: http://www.forumincisi.com/egitim-ile-ilgili-programlar-f48/fx-graph-v3-210-5-matematiksel-grafik-cizme-programi-t5818.html

Sayı Boncuğu (Abaküs) Nedir?Tarihçesi

2010-05-22T12:13:00.001-07:00

Sayı boncuğu veya abaküs, basit toplama ve çarpma işlemleri için kullanılan bir aletir. Boncukların sayılması şeklinde çalışır.

M.Ö. 2600 yıllarında Çin’de geliştirilen abaküs, denizaşırı ticaret yapan tüccarlar sayesinde Girit ve Miken bölgelerinden Avrupa ve Amerika'ya yayılmıştır. Abaküs, hareketli parçalara sahip olduğu bilinen ilk hesap makinesidir. Arap sayılarının ve sıfır kavramının abaküs yardımıyla geliştirilmesi tarih öncelerine gitmekle beraber, halen dünyanın değişik bölgelerinde özellikle okul öncesi çağdaki çocukların matematiksel zekasını geliştirmek amacıyla kullanılmaktadır.

Çağdaş hesap makinelerinin ve bilgisayarların atası sayılan hesap aygıtı olan Abaküs'te amaç 4 ana matematiksel işlem olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmaktır. Babilliler'in buluşu olan abaküs, yüzyıllar boyunca ticarette büyük önem taşımıştır. Abaküsün temeli Girit ve Miken'e dayanmakta ve ilk abaküs örneklerinin hemen hepsinde Girit ve Miken süsleme sanatından örnekler da bulumaktadır.

İlköğretim sınıflarında matematik dersine yardımcı olması amacıyla da kullanılır. Abak (Abaküs), Aritmetik hesaplamaları yapmaya yardımcı bir alet.

En iyi bilinen biçimi (Çinlilerin Suan Pan'ı) dikdörtgen bir çerçevenin içine gerilmiş teller üstüne inciler dizilmesiyle oluşturulan abak, başlangıçta toprağın içine açılan sıra sıra oluklara dizilen taşlardan oluşmaktaydı. Daha sonraları, yuvarlık bilye büyüklüğünde metal top ya da boncukların paralel çubuklar ya da teller üstünde hareket ettiklerini biçimini almıştır.

Her boncuk ya da metal topçuğun değeri, büyüklüğüne değil konumuna bağlıdır; belirli bir çizgi üstündeki taşın ya da belirli bir tel üstündeki incinin (boncuğun,topçuğun, vb.) değeri 1, iki tanesi birlikte olunca 2 olur. Bundan bir sonraki tel 10, üçüncü sıradaki tel 100 olarak değerlendirilir. Böylece ikisi 1 değerinde ve biri 10 değerinde üç dizi taş 12'yi, 100 değerindeki bir dördüncü topçuk eklenince de 112'yi gösterir. Yani topçuk ya da boncuğun yeri, değerini belirler ve çok büyük sayılar bile birkaç topçu ya da boncukla gösterilebilir. Topçuklar bir yöne kaydırılarak işlem yapılır; elde edilen değeri silmek, yani topçuğu bir sonraki kullanıma hazırlanmak istenirse, tersi yönünde kaydırmak gerekir. Abak, görünüşte basitliğine karşın, toplama makineleri, elektronik hesap makineleri ve bilgisayarların hazırlanmasına katkı bulunmuştur.

ALINTI: www.forumincisi.com

Eski ve Yeni Uzunluk Ölçüsü Birimleri 6.Sınıflara Yardımcı

2010-04-18T10:10:00.000-07:00

ESKİ UZUNLUK ÖLÇÜLERİ

Çarşı arşını
Daha çok çarşı ve pazarda kullanılırdı. Metre hesabıyla çarşı arşını 68 cm'dir.

Bina ve mimar arşını
75,8 cm'dir. Bu arşının uzunluğunda zamanla değişiklikler oldu. Üçüncü Selim Han abanoz ağacından bir mimar arşını yaptırdı. Bunun ölçü olarak kullanılmasını istedi ve kütüphaneye kaldırttı. Bunun bir tarafı 24 parmağa ve her parmak 10 hat'ta bölündü. Böylelikle bu bölümle basımevinde kullanılan punto büyüklükleri de alınabilecekti. Diğer tarafı sadece 20 eşit parçaya bölündü. Değerli kumaşları bilhassa ipekleri ölçmede endaze kullanılırdı (endaze 65,25 cm'dir).
Türkiye'de 26 Mart 1931 tarih ve 1782 sayılı kanunla, arşın ölçü birimi kaldırılıp, yerine metre sistemi kabul edildi. 1933'ten sonra da arşının bütün çeşitleri tamamen ortadan kaldırılıp metre sistemine geçildi.
Zirai mimari, arşın ve endaze ölçü birimlerinin ast ve üst katları aşağıda gösterilmiştir.

ENDAZE
1 endaze = 8 rubu
1 rubu = 2 kirah

ÇARŞI ARŞINI
1 çarşı arşını = 8 rubu

ZİRAİ
1 merhale = 2 berid
1 berid (menzil) = 4 fersah
1 fersah = 3 mil
1 mil = 2500 zirai
1 kulaç = 2,5 zirai

PARMAK
1 parmak = 12 hat
1 hat = 12 nokta

Eski Osmanlı Uzunluk Ölçüleri:
1 Merhale 45480 m
1 Fersah 5685 m
1 Eski Mil 1895 m
1 Berid 227 m
1 Kulaç 1,89 m
1 Zirai Mimari (24 parmak) 75,35 cm
1 Arşın = 8 Urup 68 cm
1 Endaze 65 cm
1 Urup 8,5 cm
1 Hat 0,268 cm

GÜNÜMÜZ ÖLÇÜSÜ METREYE GÖRE KIYASLAMA
" 1 parmak = 12 hat = 0,03157 m
" 1 hat = 12 nokta = 0,00263 m
" 1 nokta = 0,00022 m
" 1 kulaç = 2,5 zirai =1,895 m (ip boyu, su derinliği, kuyu derinliği vb. için)
" 1 kara mili = 2500 zirai = 1895 m (kara yolculuğundaki mesafeler için)
" 1 fersah = 3 mil = 7500 zirai = 5685 m
" 1 berid (menzil) = 4 fersah = 12 mil = 30900 arşın = 22740 m
" 1 merhale = 2 berid = 45080 m
" 1 çarşı arşını = 8 rubu (urup) = 0,680 m (kumaş için)
" 1 rubu = 2 kirah = 0,085 m
" 1 kirah = 0,0425 m
" 1 endaze = 8 rubu (urup) = 0,650 m
(artan ipekli fiyatlarına karşılık konulan ölçü birimi)
1 linye= 0,003175 m
1 parmak (inch; in)= 0,0254 m= 2.54 cm
1 kerrab= 0,0425 m
1 elle= 0,6669 m
1 ayak (foot; ft)= 12 in= 0.3048 m
1 kadem= 0,37887 m
1 fathom= 1,8299 m
1 punto (point; pt)= 1/72,27 in= 0,035 cm

İNGİLİZ, AMERİKAN VE DİĞER ÖLÇÜLER
Uzunluk Ölçüleri ve Miller:
Parmak (Inch = Pus) 2,540 cm
Ayak (Foot = Kadem) = 12 Parmak 30,48 cm
Yarda (Yard) = 3 Ayak 91,44 cm
Ingiliz Mili (Kara) = 5380 Ayak 1.609,3 m
Ingiliz Mili (Deniz) = 6080 Ayak 1.853 m
Türk Mili 1.895 m
Fransız Mili 7.852 m
Alman Mili 7.500 m
Rus Mili 7.467 m
Yunan Mili 10.000 m
Coğrafi Mil 7.200 m

Günümüz Uzunluk Ölçüleri:
Metre (m).............: 1m
Dekametre (Dm)...: 10 m
Hektametre (hm)..: 10 Dm = 100 m
Kilometre (Km)....: 10 Hm = 100 Dm = 1.000 m
Desimetre (dm)...: 1/10 m
Santimetre (cm)..: 1/100 m
Milimetre (mm)...: 1/1.000 m
Mikron (mu).......: 1/1.000.000 m
1 megametre= 1 000 000 m
1 mikrometre (μm)= 0,0001 m
1 nanometre (nm)= 0,00001 m
1 nokta= 0,00022 m
1 pika= 0,0042 m
1 pikometre= 0,000000000001 m
1 pus= 0,0254 m
1 rubu= 0,085 m
1 thou= 0,0000254 m
1 cable= 23,15 m

Matematik Özdeyişleri

2010-01-21T01:08:00.000-08:00

Bir insanın değeri bayağı kesire benzer:Pay gerçek değerini gösterir payda kendisini ne zannettiğini. Paydanın değeri arttıkça kesrin değeri azalır. Lev Tolstoy
Buraya geometri bilmeyen giremez.
Plato

İnsanların 4/5'i kesirleri beceremez.
Steven Wright

Aptalların sorup akılı insanların cevap veremediği pek çok soru vardır. Gorge Polya

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
Albert Einstein

Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.
Albert EinSTEİN

Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir.
Galileo

Matematiği kullanmayan bilimler, ele aldıkları konularda ancak dış yapıyı inceleyebilirler; çünkü matematikle dile getirdikleri, ancak birtakım bağıntılardır; bu bağıntılar ise özle ilgili unsurlar arasında değil, dış görünüşle ilgili noktalar arasında olabileceğinden, onun aslında ne olduğunu bize vermekten acizdirler. O halde matematik, tabiat bilimleri, tarih gibi kişiliğin içlerine nüfuz edip,onu derin bir sezgi ile kavrayabilen bir disiplinin önünde çok aşağı niteliktedirler.
M. Kemal Atatürk

Bütün önemli teoremler gece yarısından sonra bulunmuştur.
Adrian Mathesis

Matematiksel ilerlemeyi sağlayan muhakeme değil, hayal gücüdür.
Augustus de Morgan

Sayının olduğu yerde, güzellik vardır.
Proclus

Okullarda matematik öğretildiği sürece dualar da devam edecektir.
Cokie Roberts

Matematiksel çalışmanın en önemli sonucu, öğrencilerin düşünmesini sağlamaktır.
John Wesley Young

Matematiğin gayesi, insan ruhunun onurudur.
C. Jacobi

Matematik aşk gibidir: Basit bir fikir, fakat her an karmaşıklaşabilir.
R. Drabek

Matematik bilimlerin sultanıdır.
Carl Friedrich Gauss
• “Matematikle ifade edebiliyorsanız, bilginiz doyurucudur.” (Lord KELVIN)
• “Algoritma şöyle diyor: Rabbimiz ve koruyucumuz olan Allah ‘a hamd ve senalar olsun“ (Harezmi)

• ”Tarihte üç büyük olay vardır: Bunlardan ilki, evrenin oluşumudur. İkincisi, yaşamın başlangıcıdır. Bu ikincisi ile aynı derecede önemli olan üçüncüsüyse, yapay zekanın ortaya çıkışıdır." (Edward Fredkin)

• “Matematik, insan zihninin idrak edebildiği bütün kavramların ve bu kavramlar arasındaki bütün ilişkilerin ifade edildiği dildir.” (AYDOS 2000)

• “Hayat sadece iki şey için güzel; matematiği keşfetme ve öğretme…” (Simeon Poisson)

• “Başka her şey de olduğu gibi matematiksel bir teori için de öyledir; güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz.“ (Cayley, Arthur)

• “Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.“ (Einstein, Albert (1879-1955)

• “Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme“ (Simeon Poisson)

• “Sen de biliyorsun ki biz hepimiz aynı sebepten dolayı matematikçi olduk; tembeliz.” (Rosenlicht, Max (1949)

• “Çözümde görev almayanlar, problemin bir parçası olurlar.” (GOETHE)

• “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir.ınandırmaya çalısmaz çünkü ispat eder.Güveninizi beklemez.Belki dikkat etmenizi ister.” (Henri POINCARE)

• “Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir” (G. H. HARDY)

• “…evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.” (GALİLEO)

• “Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.” (M.Kemal Atatürk)

• “İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.” (NEWTON)

• “Matematiğin hiçbir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada uygulama alanı bulmasın.” (LOBACHEVSKY)

• “Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın.” (John von Neumann)

• “Matematik ne neden söz ettiğimizi, ne de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur.”(Bertrand Russell)

• Bir teoremin zerafeti onda görebildiğin fikirlerin sayısıyla doğru, o fikirleri görebilmek için harcadığın çabayla ters orantılıdır.” (George Polya)

• “Geometri zekayı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkansızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zeka kazanır. Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir: “Geometrici olmayan evimize giremez.” (Ibn Haldun (1332-1406)

• “Bir karenin kenarlarıyla köşegenlerinin rasyonel orantılı olmadığı gerçeğinden habersiz olan, insan sıfatına layık değildir.” (Plato (429-347 B.C.)
• “Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.“ (C. MORLEY)

• “Matematik, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır”(Baykul, (1999:25)

• “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.”(HENRI POINCARE)

• Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. (Albert Einstein)

• Geometri, yaratılış öncesi de vardı.
(Plato)

• Tanrı vardır, çünkü matematik tutarlıdır; şeytan vardır, çünkü bunu ispat edemiyoruz. (Morris Kline)

• Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir.(Galileo)

• Kara delikler, Tanrının 0′a böldüğü yerlerdir.(Steven Wright)

• Resim bir bilimdir ve tüm bilimler matematiğe dayanır. İnsanın ortaya koyduğu hiçbir şey matematikte yerini bulmaksızın bilim olamaz.(Leonardo Da Vinci)

• Şu an ispatlananlar, bir zamanlar sadece tasavvurdu.(Atasözü)

• Matematik düzen, simetri ve limitleri ortaya koyar ve bunlar güzelliğin en muhteşem formlarıdır.(Aristotle)
•
• Ne kadar çok bilirsen, o kadar az emin olabilirsin.(Voltaire)

• Aritmetik, ayakkabıları çıkarmadan yirmiye kadar sayabilmektir.(Mickey Mouse)

• Dinsiz ilim topal, ilimsiz din kördür.(Albert Einstein)

• Matematik bilimlerin sultanıdır.(Carl Friedrich Gauss)

• Matematiksel olarak gösterilemeyen hiçbir araştırma gerçel bilim sayılamaz.(Leonardo da Vinci)

• Eğer mutsuzsam, matematikle uğraşıp mutlanırım. Eğer mutlu isem; matematikle uğraşıp mutluluğumu muhafaza ederim.(P. Turan)

• Allah kainatı matematik dilinde yaratmıştır.(Galileo)

• Matematik aşk gibidir: Basit bir fikir, fakat her an karmaşıklaşabilir.(R. Drabek)

• Bariz” matematikteki en tehlikeli sözcüktür. (E.T. Bell)

Oyunlarla Matematik

2010-01-03T15:12:00.001-08:00

Özellikle I.Kademe 1,.2. ve 3. Sınıf öğrencilerinin matematik dersini daha eğlenceli ve kolay bir şeklilde öğrenmesine yönelik oyun tarzı hazırlanmış güzel bir eğitici ve öğretici oyunların yer aldığı bir çalışma.Çocuklarınız için faydalı olacağını düşünüyorum.

İNDİR:
http://www.upload.gen.tr/d.php/s7/qorolc2f/matematik_cd_1.rar.html
http://www.upload.gen.tr/d.php/s7/qorolc2f/Matematik_cd_2.rar.html

Matematik ve Geometri Çalışma Yöntemleri

2010-01-03T15:07:00.000-08:00

MATEMATİK(CEBİR) DERSİ NASIL ÇALIŞILMALI
ÖSS matematiği çalışacak tüm öğrencilere tavsiye edeceğim en önemli nokta ilköğretim ikinci kademe (6.7.8.sınıf) matematiğini iyi bilip bilmedikleridir. Eğer bu konular bilinmeden lise müfredatı çalışılmaya başlanırsa yapı taşları eksik olmuş ve konular iyi öğrenilmemiş ve sorular çözülememiş olur.

Buradan hareketle matematik dersinin öncelikle öğretmenlerden ileri giderek çalışılmasının uygun olmadığı kanaatindeyim. Konular derslerde iyi dinlendikten sonra mutlaka günü gününe tekrar edilmeli ve tekrarlar önemsenmelidir. Farklı tarzlarda konu anlatımlarını görmek için farklı kaynaklardan öğretmenle işlenen konular takip edilmeli ve bolca soru çözülmelidir. Örnek sorulara, çözümlü örnekler takip edilmelidir. Görüntülü yayınlardan faydalanılmalı beklide ders birkaç kez dinlenilebilmelidir.

Önceki yıllarda çıkmış sorular konularına ayrılarak çözülmeli ve kesinlikle işlemediğiniz ve iyice çalışmadığınız konulardan soru çözülmeye çalışamamalıdır. Bu soru çözümleri esnasında sorular çözülemediği için zaten matematik korkumuz var artık uğraş dur. Bu anlamda yanlış uygulanan plan matematikten hepten uzaklaşılmış olunur.

Bununla birlikte farklı periyotlarda bazen ayda bir bazen haftada veya on beş günde bir geriye dönük ara ara tekrarlar yapılmalı ve sonuçları daha iyi hale getirmek için bolca tekrar soru çözülmelidir.
Matematikle ilgili problemleri olanlar birkaç sınıfta değerlendirmek mümkündür.

a) Konuları anlayamıyorum, işlem hataları yapıyorum.

Matematiğin temel kavramlarını bilemeyen öğrencilerin matematikte konuları iyi öğrenmeleri ve yeni konu öğrenmeleri oldukça zordur. Matematikçilere bu konulara nedir diye sorduğunuzda karşınıza çıkacak cevaplar aşağıdaki gibidir. Rasyonel sayılar ve işlemler, üslü ve köklü sayılar, çarpanlara ayırma ve özdeşlikler.

b) İyi işlem yeteneğim var, fakat konu eksiklerim var.

İyi işlem yeteneği olan öğrencilerimiz şunu bilmelidirler. Bu yetenekleriyle rahatlıkla yeni konu öğrenebilirler konulara korkmadan çekinmeden yaklaşmalı ve anlamaya çalışmalıdırlar. Önce hiç bilmediğiniz konulardan başlamak yerine, az bildiği konuları biliyor hale gelmek gerekecektir. O konu ile ilgili artık bu konuyu az biliyorum demeden biliyorum demelerini sağlamak gerekecektir.
Sonuç olarak diyebiliriz ki önce eksiklerimizi giderelim sonra yeni konuları öğrenmeye çalışalım.

c) Konuları iyi biliyorum fakat işlem hatalarım çok.

Konuları biliyor olmanız matematiğe karşı bir yeteneğinizin var olduğunu gösterir. İşlem hatalarını gidermenin en güzel çözümü bolca soru çözmektir. Ne kadar farklı kaynaktan soru çözerseniz o kadar çok soru çeşidi görmüş olursunuz ve artık daha az işlem hatası yaparsınız.

d) İşlem ve konularla alakalı problemim yok ancak çok yanlışım çıkıyor.

Soru çözmekte acele etmeyin soruyu çözmeye başlamadan önce mutlaka anlamaya çalışın ve soru çözerken dikkatinizi toplamaya çalışın ve soru çözme işini önemseyin. Nasıl olsa yaparım diye bakmayın. Dağınık çalışma yerine daha disiplinli bir çalışma sistematiği belirleyin ve mutlaka ona uymaya çalışın.

e) Matematiğim iyi ve geliştirmek istiyorum.

Daha fazla matematiğinizi geliştirmenin yolu farklı kaynakları taramak ve branş öğretmenlerinden matematik adına kendini geliştirmek için tavsiye alınız. Belki TÜBİTAK sorularına bakabilirsiniz.

GEOMETRİ DERSİ NASIL ÇALIŞILMALI?
Burada matematik için söylediklerimi tekrar dile getiriyor ve diyorum ki, geçmiş konular iyi öğrenilmeden kesinlikle yeni konular çalışılmaya başlanmamalıdır. Bu eksiklikler giderilmek için hemen bir ilköğretim LGS-OKS şimdi adıyla SBS sınavına hazırlık kitapları bir ay gibi kısa bir sürede defter tutarak bitirilmelidir. Bu işlem tamamlandıktan hemen sonra yeni konulara dersin öğretmeniyle eş zamanlı olarak çalışılmalı ve bu esnada farklı kaynaklardan sorular çözülmelidir.

Farklı kaynaklardan örnek soru çözümleri dikkatli bir şekilde incelenmeli ve çözüm yolları incelenmelidir. Bazen rakamlar değiştirilerek öğrencilerin hazırlayacağı geometri soruları olmalı ve çözümleri tekrar tekrar yapılmalıdır.

Geometri birazda görmek demektir, farklı açılardan bakabilmek demektir. Bu farklı bakış açısını kazanabilmek için ayni konudan birçok soru çözmekle de kazanılır. Formülleri ezberleme yerine benzer sorularla farklı bakış açıları kazanmaya gayret edilmelidir. Konuların işleniş sırasına dikkat edilmeli önden giderek veya konu atlanarak çalışılmamalıdır. Çünkü geometride konulara birbiriyle çok alakalıdır. Burada çıkmış sorulara bakmayı hatırlatmak yanlış olmasa gerek. Bundan sonrada geometriden korkmamak demektir.

Eğer öğrencilerimiz mühendislik alanlarını okumak istiyorlarsa özellikle doğadaki ve çevrelerindeki nesnelere birer geometrik şekiller olarak bakabilmeli ve geometri çözümünü onun çerçevesinde de değerlendirilebilmelidir. Hayatla iç içe girmiş bir geometri mutlaka konuların daha iyi anlaşılmasına cevap verecektir.

Çin Usulü Çarpma İşlemi

2009-09-13T02:26:00.000-07:00

Yöntemin uygulanışı şöyle:Örneğin 4 basamaklı bir sayı ile 2 basamaklı bir sayı çarpılacaksa dikdörtgen şeklinde bir kutu çizip 4 sütuna(ilk sayıdan dolayı) ve 2 satıra (ikinci sayıdan dolayı)bölüyor.Sonra içte oluşan karelere birer köşegen çiziyor.İlk başta çizilen dİkdörtgenin üst kısmına 4 basamkalı sayıyı yan kısmına da 2 basamaklı sayıyı yazıyor.Gerisini videodan izleyebilirsiniz.

İşte video...

Fast Math Trick (Kolay Kare Alma)

2009-09-08T05:37:00.000-07:00

Güzel bir kare alma metodu..Özellikle 100 ile başlayan 3 basamaklı sayıların ve 100 e yakın olan iki basamaklı sayıların karelerini almaya yönelik güzel bir yöntem sunuluyor.Özellikle öğrenciler için faydalı olacağını umuyorum.İngilizceniz varsa daha iyi anlayabilirsiniz.,,

İşte video..

Çarpım Tablosu Oyunu (2. ve 3.sınıf ağırlıklı)

2009-08-27T08:26:00.000-07:00

Özellikle ilköğretim 2. ve 3.sınıf öğrencileri için çarpım tablosunu eğlenceli bir biçimde öğretmeyi amaçlayan güzel bir program.

İNDİR:
http://www.sorubak.com/download.php?id=16119

Matematik Yapboz 1.Kademe

2009-08-25T03:25:00.000-07:00

İlköğretim 1.kademe (özellikle 2.,3. sınıf) öğrencileri için eğlenceli olabilcek bir yap boz oyunu..

İNDİR:
http://www.upload.gen.tr/d.php/s6/ffsappjf/matematikyapboz_1.kademe.rar.html

Rar şifresi:matematikyurdu

Matematik-Geometri Yaprak Test

2009-08-25T03:12:00.000-07:00

Matematik ve Geometri ile ilgili birkaç test..

Geometri yaprak testleri

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/4625186/eksen2geo.rar

FEM yaprak testleri ilköğretim i_in, oks, 2002-2003

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/9959800/FemGeo200203.rar

Kültür Geometri Yaprak testleri 2002-2003

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/3901804/Kultur-Geo_0203.rar

Asal sayıların gizemi ve Riemann Varsayımı

2009-08-14T14:31:00.000-07:00

Matematiğin neresine bakarsanız bakın, derine indiğinizde karşınıza tamsayılar ve onların kuramı olan sayılar kuramı (yb. “number theory”) çıkacak. İki yazı önce Eğitimbilim dergisinde [Ocak 2006] tamsayıların hem riyâziyenin, hem de doğa bilimlerinin ortak temel taşları olduğundan biraz bahsetmiştim. Artı işaretli tamsayılar, yâni 1, 2, 3, … diye giden doğal sayılar ve onları (aşağıda göreceğimiz gibi) oluşturan asal sayılara etraflıca hele bir bakalım; neler yok neler orada.

Biliyorsunuz “asal sayı, p” başka doğal sayılarla tam olarak bölünemeyen bir doğal sayıdır; ({p}= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…). Bir eksen üzerinde sıfırdan sonsuza dek giden doğal sayılar arasına serpiştirilmiş asal sayılar var. Daha baştan bu asal sayıların gizemi insanı büyülüyor. Birinci soru: p’lerden kaç tane var? Belli bir adet mi, sonsuz tane mi? Asalların sonsuz adet olduğu daha M.Ö. 300’de Öklid’ce ispatlanmıştı (çok önceki Sümerler de belki biliyorlardı). Yakın zamana dek çeşitli ispatlar da yapıldı. [Bunların yedisi için Bkz. Matematik Dünyası, (Güz 2005 sayısı, sf.62-64 ve 2005-I sayısı, sf. 84)].

İkinci, ve hâlâ cevabı bulunamamış soru:

Tamsayılar ekseni üzerinde asal sayıların dağılımı nedir? Doğal sayılar arttıkça aralarında asallar belli bir kurala göre mi geliyorlar? Meselâ, artarak giden asal sayıların 50. sini bulduğumuzda 51., 52., vb. nin hangi asal sayılar olacağını önceden kestirebilir miyiz? Peki bir dağılım/dizilim kuralı bulamıyorsak, acaba dağılım matematik (ve fizik) anlamında rasgele mi (yb. “random” mı)? Aradan 2300 veya fazla yıl geçmesine, ve nice matematikçilerin uğraşmasına rağmen, bu paragrafımızdaki soruların cevabı hâlâ “hayır” veya bilinmiyor.

1960’lara, yâni bilgisayar çağına kadar bilinen en büyük asal sayıyı bulmak gazete haberi oluyordu, ama artık, hesapların büyük olmasına rağmen bu, havadis sayılmıyor. Çok büyük bilgisayarlarla, deneye sınaya, milyarlarca asal sayı bulundu. Ama hâlâ asal sayıların dağılım/dizilim kuralı bulunamadı. Bu, riyâziyenin çözülememiş en temel ve en büyük meselesi olmaya devam ediyor. Kesin sonuca, keskin bir ‘anasav’a (teoreme) ulaşılamadıysa da bilinen bazı şeyler var: Euler’in, Gauss’un buldukları ve Riemann’ın 150 yıldır ispatlanamamış, ama çürütülememiş de olan varsayımı (yb. “hipotezi”). Riemann Varsayımı’nı ispatlayabilene Clay Vakfı’nın koyduğu bir milyon dolarlık ödül duruyor. [Gerçi böyle derin matematikler, para düşünerek yapılamaz; ancak âdetâ tasavvufî olan büyük bir matematik aşkı, tutkusuyla olur.]

Doğal sayılar iki çeşit: i) Asallar, ii) Asal olmayanlar ki, bunlara ‘bileşik’ sayılar da diyebiliriz, çünkü, Eski Çağ’dan beri bilindiği üzere asal olmayan herhangi bir doğal sayı yalnızca tek bir biçimde, belirli asalların çarpımından ibârettir. Örn. 720 sayısı 4 adet 2, iki adet 3, ve bir tane 5’in çarpımından oluşur, yâni 720 = 24 x 32 x 5. (Sâdece bu asal çarpanlar ‘bileşik sayı’ 720’yi verir.) Bu, “aritmetiğin temel ‘anasav’ı (teoremi)”. Bazıları, kimyaya teşbihle, asal sayıları ögeciklere (atomlara), bileşik doğal sayıları ise özdeciklere (moleküllere) benzetiyorlar; şu farkla ki kararlı ögecik cinsinden 92 adet (çabuk bozunur, yapaylarıyla birlikte 105 kadar) var, asal sayılar ise sonsuz miktarda. [Benim yeni nicem (kuvantum) kimyası (VIF) kuramımla kimyaya bakılırsa, teşbihin daha da ayrıntılı (ve sayılar kuramına dayanacak) olması muhtemel. (Bkz. E. Çaykara’nın “Oktay Sinanoğlu kitabı”(T. İş Bankası Kültür Yayınevi, İst., 25.baskı 2006))]

Asalların dağılımı/dizilimi hakkında bazı bilinenler: a) 2 ve 3 hâriç asallar birbirine komşu olmazlar. Ama, aralarında tek bir bileşik sayı olan asal sayı çiftlerinden sonsuz adet çift olduğu sanılıyor. Bu, “ikiz asal varsayımı”nın da henüz ispatı yok. b) Sayılar büyüdükçe asallar-arası asalsız boşluk da büyüyor. c) Gelelim C.F. Gauss’un buluşuna:

1801’de Gauss dedi ki, asalların dağılımını bilmesek de, belli bir doğal sayı (n)’e kadar kaç adet asal olacağını bulalım. Ve şu formülü sayılara bakarak buldu: n? p asalları sayısı, n sonsuza yaklaşırken (n/ ln n) ‘e yaklaşır. (Burada (ln) , e= 2.718… tabanlı logaritma) [‘logaritma’ lâfı ise büyük Türk matematikçisi, cebiri keşfeden , Türkistanlı (Harzemli) Harezmî’nin adının Batı’daki bozuk telâffuzundan geliyor]. Dolayısıyla n büyüdükçe asallar sayısı, (n)’e nispetle azalır, ama hiçbir zaman sıfır olmaz.

Gauss’un formülü bir tahmindi, ama 100 yıl sonra Hadamard ve de ayrıca C. de la Vallée-Poussin tarafından ispatlanıp “asalların sayısı anasavı (teoremi)” adını aldı. Tabii gene de formül ancak n sonsuza yaklaştıkça doğru. Herhangi bir (n)’de belli bir yüzde hâtâ var. Bu iş fen veya mühendislik olsa uygulamada idâre edebilir, ama saf matematikte kesin ispatlar, kesin anasavlar olmalı. Ve 150 yıl önce Riemann bu hâtâ miktarını kesinkes bulmağa karar verdi, çünkü öyle bir sonuç, asallar çok temel nesneler olduklarından, matematiğin birçok dalını da etkileyecekti. (n) bir milyon, milyar mertebesine vardığında Gauss’un formülü %3 hâtâ veriyor. Riemann önce bu hâtâyı düşürdü, hattâ %1’in çok altına. Ama hâlâ kesin bir sonuç, temel bir anasav yoktu. Derken, Riemann, çok önceki ve çok ilginç Euler’in bir formülünü karmaşık sayılara genişleterek “Riemann Varsayımı”nı ortaya attı, hâlâ ispatlanamamış büyük varsayım, matematiğin çeşitli dalları, şimdi de kuramsal fiziğin temelleri içinde önemli hâle gelmiş varsayım. Varsayımın ispatı için günümüzde bambaşka, değişik yönlerden uğraşılıyor. Yaklaşımları, durumu, varsayımın içeriğini bir dahaki yazımda ele alacağım inşallah.

Kaynak:
Prof. Dr. Oktay Sinanoğlu

Matematiksel Sanat

2009-08-14T14:25:00.000-07:00

Önyargılarımızı bir tarafa bırakıp matematiğin insanlara sıkıcı görünme nedenini açıklamaya çalışalım. Basit bir neden olarak matematik dünyasını kolay algılayamadığımızı ve hissedemediğimizi söyleyebiliriz. Bunun nedeni ise, matematiğin kendi yapısı ve bu yapıyı ören profesyonel matematikçilerin tavrıdır. Matematikçiler ayrı bir dünyada gibidirler, olayları algılayışları ve ifade edişleri farklıdır.

Bu ifadenin gündelik yaşam dilinden farklı olmasını yadırgamak yersiz olur. Matematikteki soyutluk, beş duyumuz aracılığıyla edindiğimiz bilgileri anlamlandırmakta ve aktarmakta kullandığımız dildeki görece anlatımlardan kurtulmak için gereklidir. Matematik evrensel bir dil olma niteliğini bu şekilde kazanmaktadır. Matematik yeterince bilgi edinmeden ve çalışmadan anlaşılamaz.

Bireyler olarak o kadar küçüğüz ki içine doğduğumuz dünyanın sadece küçük bir parçasını algılayabiliyoruz. Bu dünya bizim anlama kapasitemizden büyüktür ve doğal olarak tüm detayları anlamamız imkansızdır. Ama matematikle birlikte bu koca dünyanın nasıl birşey olduğu hakkında genel bir duyuma sahip olabiliriz. Tanımlamayı, analiz etmeyi, çıkarımlar yapmayı, dizgelemeyi, daha dolgun, anlamlı ve işlevsel düşünceler üretmeyi öğrenebiliriz. Böylece zekanın derinliklerinde ve sınırlarında gezinerek kendi sınırlarımızı zorlamak ve genişletmek imkanı buluruz.
Mathart, matematiksel sanat, karşımıza çıktığı biçimiyle, matematikçinin içinde yaşadığı dünyayı profesyonel matematikçilerin çemberi dışına taşımak için yapılan güçlü bir girişimdir. Matematikle sanatın ilişkilendirildiği makalelerde, Rönesans dönemi sanatçılarının çalışmaları, özellikle altın oran ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanılışı, doğadaki geometri, fraktallar ve bunların şaşırtıcı görünümleri ve elbette matematik ve müzik ilişkisi konularından bahsedilir. Fakat matematiksel sanat farklı bir önerme olarak karşımıza çıkmakta. Çıkış noktası, kuramsal bağlamı ve yolu matematiksel; tekniği ve ürünü sanatsal olan matematiksel sanat ile soyut kavramlar ve düşünce formları fiziksel materyallere ve görünümlere dönüşmektedir. Böylece bir yandan matematikçiler "diğerleriyle" farklı bir platformda iletişim kurabilme, öte yandan yeterli bilgiye sahip olmayan insanlar, matematikçilerin kafasının içinde olan biteni hissedebilirle şansı yakalamaktadırlar, ilk bakışta soğuk ve inorganik görünen matematiksel sanat, Heleman R. P. Ferguson, Anatolii T. Fomenko'nun çalışmalarında sıcak ve canlıdır. Ünlü matematikçi Fomenko, bize matematik dünyasından enstantaneler taşırken, sanatçı Ferguson heykelleriyle matematiksel düşünceyi yüceltir. Yeni bir bakış açısıyla M.C. Escher'in eserlerini de bu konuya dahil edebiliriz. Ne de olsa Escher kendini matematikçilere daha yakın hissetmiştir. Bu insanlar bize matematiksel düşüncenin ve sanatsal becerinin doğurduğu etkileyici sonuçların örneklerini vermektedirler. Gelin bu örnekleri inceleyen kısa bir gezintiye çıkalım.

Matematik Dünyasından Fotoğraflar:
İlk durağımızda ünlü Rus matematikçi Anatolii T. Fomenko'nun çalışmaları var. Özgeçmişinden anlaşıldığına göre Fomenko, tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı ödüller ve madalyalarla dolu. Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü'nde tamamlayan matematikçinin başarılı akademik kariyeri boyunca 140'dan fazla yayınlanmış makalesi ve 16'yı aşan kitabı bulunmaktadır. Böylesi güçlü bir matematikçi kimliğin yanında resim, amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle küçük yaşlardan beri sürdürülen bir uğraş olarak belirir. Matematiği hep çizerek ifade etmeye çalışan Fomenko bunun nedenini açıkça belirtir:

" ... Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim ilgi çekici matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar. Benim için önemli olan sanatçı olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır. Böylece diğer insanlar da bu dünyaya katılabilirler".

Fomenko ileTopoloji:
Fomenko daha çok matematikteki çalışma alanı olan topolojik nesneleri ve olayları resmeder. Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen ve yaygınlaşan alanlarından biri olarak bilinir. Kabaca "esnek madde geometrisi" olarak tanımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına gelmeyen ve esnek bir maddeden yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebilir. Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzerek veya çekip genişleterek yapılan bu dönüşümü bir fonksiyon olarak düşünebiliriz ve buna da homeomorfizm denir. Bir karenin daireye, kübün pramite, bir torusun kahve fincanına, daha da ilginci bir noktası atılmış bir kürenin reel düzleme (R2) homeomorfik olması gibi...

Topoloji öğrenmek insanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü konu olan nesneler ve bunların elde edilme yöntemleri olağan dışı özellikler gösteriyor. Tecrübe etmek için Şekil 2'de görünen dikdörtgenleri ok yönünde yapıştırın. Fiziksel anlamda bu işlemleri sonuçlandırmak genelde mümkün değildir. Bu yüzden düş gücünüzü yardıma çağırmanız gerekecek. Bu yöntemle oluşan Möbius Şeridi tek tuzlu, içi dışı olmayan bir nesnedir. Yani içi ve dışı aynı yüzeydir. Bir diğeri ünlü Klein Şişesi, iki Möbius Şeridi'nin yapıştırılmasıyla elde edilir, iki Möbius Şeridi kenarlarından yapıştırılabilir mi? Deneyin!! Kelin Şişesi için şekilde tariflenen yapıştırma yönüne dikkat edilirse şişenin kendini kesmemesi gerektiği görülebilir. Fakat bunu üç boyutlu uzayda göstermek imkansızdır. Klein şişesi dört boyutlu içi dışı olmayan bir nesnedir. Çizimde kendini keser gibi görüldüğü için algılaması zor olan bu durumu dikkatlice düşününce siz de kavrayabilirsiniz. Dördüncü boyutta bu şişeye su doldurmak oldukça eğlenceli olurdu.

Matematik dünyasını fotoğraflamak:
Tahmin edeceğiniz üzere topoloji, matematikçilerin oyun düşkünlüğüyle örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir yığın görsel malzemeyle dolu. Tabi ki matematikçiler için ası! heyecan verici olan bu oyunların içindeki teori. Fomenko ise doğası kolay anlaşılmayan bu dünyayı resmetmeye çalışıyor. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta ne olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı, yol boyunca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak istiyor ve bunu fotoğraf çekmeye benzetiyor. Gördüklerini ve hissettiklerini belgelemek için çiziyor. Resimlerinde kurguladığı mekanlarda Rus masallarından, mitolojiden ve antik çağın öykülerinden faydalanıyor. Fomenko'nun resimlerinde mekanlar alabildiğine büyük, insanlar alabildiğine küçük görünüyor Fomenko bu hissi şöyle vurguluyor:

" Biz şu öğrenen adamlar, tahmin edemeyeceğimiz şeylerin her an olabileceği, fırtınalı bir dünyada yaşıyoruz"
Resimlerin kaotik yapısı, izleyiciyi zor durumda bırakacak kadar karışık birçok detayla dolu olması bu fikre dayanıyor olmalı. Bizler teknoloji çağının çocukları bildiklerimizle ne kadar çok övünürüz, oysa bilmediklerimizin fazlalığı merakımızı kamçılamalı.

Müzik ve matematik
Müzik ve matematik ilişkisi Fomenkonun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova Üniversitesi Topaz grubunda müzik yapmış olan Fomenko'nun resimleriyle müzik arasında önemli bağlar bulunur. Fomenko'ya göre müzik ve matematiğin temel motifi sonsuzluktur:
" Profesyonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramıyla ilgilenirler. Bu yüzden tam olarak tanımlanamasa da sonsuza ait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açıkça görülmese de bu durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir." (4)
Fomenko'nun görüntülediği dünyada onun izlenimlerine tanık olmak pek kolay değil. Oldukça detaylı, karışık iç içe geçmiş yapılar; koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler, zor kavramlar... Sanatçının kendisinin de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlaşılamayacağını itiraf etmektedir. Yine de garip bir dünyadan gelmiş fantastik öyküler anlatan bu "fotoğrafların" izleyici üstünde bırakacağı etkiyi kim tayin edebilir!

Bronz ve Taş Üstüne Kuramlar
İkinci durağımız Amerikalı sanatçı Heleman R. P. Ferguson. Sanat eğitimini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji'nde yapan Ferguson, matematik eğitimini Washington Üniversite'sinde almış. Bilgisayar destekli üretim ve bunun için yazılacak algoritmalar üzerine araştırmalar yapmış. Yaşamını heykel yaparak sürdüren sanatçı, matematiğin kendine özel estetik bir tarafı olduğuna inanıyor. Ferguson "Matematiğin kaynağı, enerjisi, zekası, sofistike yapısı estetik sanat eserlerinin yaratılışını geliştirmek üzere kullanılırsa ne olur?" sorusunun cevabını arar. Sanatçının haziran 1991'de Newyork Bilimler Akademisi'nde açılan "Bornz ve Taş Üstüne 16 Kuram" adlı sergisi bu soruya bir cevap niteliği taşıdığı söylenebilir. Ferguson yaşamsal görünümlerin tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği, bir sanat ve bilim formunda heykelleştirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelliği duyumsatarak önyargılarımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır. Bu misyonu şöyle ifade eder:

" Güzellik ve gerçek: heykellerimin birleştirip yücelttiği iki olgu. Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelliği ve zihni harekete geçiren matematiksel gerçek. Benim heykellerimin yaptığı bu."(2)
Matematiksel estetik Umbilic Torus Nist NC heykelinde vücut bulmuştur. Heykelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, antik rengi, Ferguson'un yaratıcılığı ve yetkinliği hakkında ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yanı ise onun yaratılış sürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandığı heykel formu

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
ax3+bx2y+cxy2+dy3 kübik reelbinom denkleminden elde edilir. Heykelin formu ve doku belirlendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarılır ve sayısal kontrollü oyma makinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktı geleneksel heykel teknikleriyle bronza dökülerek son halini alır.

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
Heykelin formu yanında dokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurma eğrisinin 5. dereceden uygulanması ile elde edilir (Şekil 3). Uzay doldurma eğrisi bir doğrudan bir düzleme tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Şekilde görüldüğü gibi eğri sürekli tekrarlanan bir işlemle inşa edilmektedir. Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlandığında eğrinin bir noktadan bir ve sadece bir kere geçerek düzlemi dolduracağı ispatlanabilir. Tek boyutlu eğri giderek iki boyutlu düzleme yakınsamaktadır ve bu da bizi çelişkiye götürür. Bu ve buna benzer eğriler bugün fraktallar olarak bildiğimiz yapıların temelini oluşturmuşlardır. Heykel doğduğu kuramdan daha fazlasını aktarıyor:
" Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlam düzeyine ve kendi orijininin tanımladığından daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykel değil. Ben soyut matematiğin tahmin edilemeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum."(2)
Ferguso'un heykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısından değil, onların gerisindeki ilginç kuramlardan doğuyor. Eserlerindeki yalınlık, süreklilik, yumuşaklık; bronzun, taşın ve kuramın soğukluğuna karşı duruyor.

Tanıdık Bir Sima: M.C. Escher
Son olarak MC Escher'in galerisine uğruyoruz. Bilimle ilgilenen ve popüler bilim yayınlarını takip edenler Escher'i ve onun eserlerini yakından tanır. Escher'in farklı kişiliği bu ilgiyi hak ediyor doğrusu. Sanatçı hakkında söylenegelenleri yinelemekten çekinmekle birlikte, onu gündeme getirmemizin nedeni eserlerinin matematiğin görselleşmesi konusunda verilen ilk örnekler olduğunu düşünmemiz. Sanatçının kendisi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir:

" Bizi saran belirsizlikleri göğüsleyerek ve yaptığım gözlemleri analiz ederek matematiğin egemen olduğu alana eriştim. Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim".(1)
Sanatçının çalışmalarını birer ilk yada önder olarak kabul edebiliriz. Yine de Escher'in matematiksel bir kaygıyla yola çıktığını söylemek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları yaratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden geçirirsek Escher'in işlerini birkaç grupta ele alabiliriz:

Düzlemi düzenli olarak bölmek:
Bu teknikle yaptığı resimlerinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp tanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu grupta topladığımız çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir (Şekil 4).

Metamorfozlar
Bu seride yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilir. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

Paradokslar
Escher'in en vurucu işleri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır. Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlamıştı(5). Escher'in Resim Galerisi adlı eseri kabaca bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir resim aynı anlatıma ulaşıyor!
Escher'in eserlerinin açıklığı, kolay okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır. Dikkatli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamı süresince ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher, matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Matematik ve Sanat Üzerine
Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.

Mathart: Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya aday.

Kaynaklar:
1- Bool F.H... Escher Complete Graphic Work, Thames and Hudson, 1993
2- Cannon J.W., "Mathematics in Marble and Bronze: Sculptures of Heleman R.P. Ferguson", Mathematical Intelliger, cilt: 13, sayı: 1, kış 1991
3- Coxeter H.S.M, Escher: Art and Science, Elsevier Science Publishers, 1986
4- Fomenko A., Mathematical Inspirations, American Mathematical Society Press, 1990.
5- Hofstadler D.R, Gödel esher and Bach: The Eternal Golden Braid, Vintage Books Edition, 1980.
6- Kappraff J., Conecttons: The Geometric Bridge between Art and Sciences, Mc GrawHill Pub. Co., 1991.
7- Nargel E., Newman J.R., çev: Gözkan B., Gödel Kanıtlaması, Sarmal yayınevi, 1994.

Bölünebilme Kuralları

2009-08-14T14:16:00.000-07:00

2 ile Bölünebilme:
Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının 0, 2, 4, 6, 8 sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur.

3 ile Bölünebilme: Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.

Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.

4 ile Bölünebilme:

Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00 veya 4 ün katları

olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.

5 ile Bölünebilme:

Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının

0 veya 5

olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.

6 ile Bölünebilme:

Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.

7 ile Bölünebilme:

Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)

a b c d e f

2 3 1 2 3 1

- +

sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:

( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı)

Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için

+, -, +, -, +, -, +, ...

şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir.

8 ile Bölünebilme:

Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının

000 veya 8 in katı

olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.

9 ile Bölünebilme:

Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme:

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.

11 ile Bölünebilme:

Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla

+, -, +, -, ...

işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da

0, 11 veya 11 in katları

olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.

12 ile Bölünebilme:

Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

15 ile Bölünebilme:

Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

18 ile Bölünebilme:

Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

24 ile Bölünebilme:

Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:

Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00, 25, 50, 75

olması gerekir.

Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:

a ve b aralarında asal sayı ve

x = a . b

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.

ÖRNEKLER

Örnek 1:

Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?

Çözüm:

9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler

0, 2, 4, 6, 8

olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler

0, 6, 8

dir. Bu değerlerin toplamı

0 + 6 + 8 = 14

olur.

Örnek 2:

5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden,

1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k

olmalıdır. Buradan,

16 + A = 3 . k

olur. Böylece, A

2, 5, 8

değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı

2 + 5 + 8 = 15

olarak bulunur.

Örnek 3:

İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre,

m + n = 3 . k

olması gerekir. O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur:

3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )

= 5 + 3 . k

= 3 + 2 + 3 . k

= 2 + 3 . k

Dolayısıyla, Kalan = 2 dir.
Örnek 4:

Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X,

0, 4, 8 ... (1)

değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,

2, 6

değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı

2 + 6 = 8

olur.

Örnek 5:

666 + 5373

toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:

66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir.

5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:

73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.

Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı

2 + 1 = 3

bulunur.

Örnek 6:

99999 . 23586 . 793423 . 458

çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,

99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 2 dir.

23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.

793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

Bu kalanların çarpımı,

2 . 1 . 3 . 3 = 18

olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise, 3 tür.

Örnek 7:

Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin

0, 2, 4, 6, 8

olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı,

3m48

olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden,

3 + m + 4 + 8 = m + 3

olur ve böylece m, şu değerleri alabilir:

0, 3, 6, 9

m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri,

m + n = 9 + 8 = 17

olur.

Örnek 8:

Beş basamaklı m362m sayısı, 7 ile tam bölündüğüne göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

(132) kuralını kullanmalıyız.

m 3 6 2 m = ( m.1 + 2.3 + 6.2 ) - ( 3.1 + m.3 ) = m + 6 + 12 - 3 - 3m = - 2m + 15

3 1 2 3 1

- +

- 2m + 15 = 7.k

Buradan m = 4 olur.

Örnek 9:

458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız.

28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.

O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.

Örnek 10:

10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını atmalıyız.

Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.

O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.

Örnek 11:

Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?

Çözüm:

Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.

Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.

Örnek 12:

Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

9 0 1 2 8 8 5 6 3

+ - + - + - + - +

Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )

= 26 - 16

= 10

olarak bulunur.

Örnek 13:

Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?

Çözüm:

Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı

5m230

olur.

Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla,

5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k

m + 10 = 3.k

m = 2, 5, 8

olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır.

Sıfırın Tarihçesi

2009-08-14T14:06:00.000-07:00

Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin (sembolün) bulunmasıdır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara (hanelere) yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak (hane) birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örneğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve 7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir.
Sıfır kavramını (fikrini) ilk olarak, hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından ortaya konulmuş (kullanılmış) olduğunda, kaynaklar hemfikir değildi. Bununla beraber, Eski Hintliler'de, milattan sonra 632 yılından itibaren sıfır için özel bir işaretin kullanılmış olduğunu, zamanımıza kadar intikal eden belgeler göstermektedir.
Eski Hintlilerden kalma kitabelerde (yazıtlarda) görülen, rakam ve işaretler, günümüzde "Hint-Arap sistemi" olarak adlandırılan sisteme göre benzerlik olduğunu, ve nümerik (terkiym) sistemin, o devirde kullanıldığını göstermektedir. Daha sonraki yıllara ait kitabeler, sayılarda, rakamın kendi zat'i değeriyle vaz'i (konum) değeri, (yani sayı içindeki anlam değeri) arasındaki bağıntının bilindiğini, sıfır anlamını veren, "0" gibi bir işaret kullanıldığını da göstermektedir.
Sıfır için, ayrı bir özel işaretin bulunuşu ve basamak fikrinin ustaca kullanılışı, onluk sistemi (decimal), sadece matematiğin değil, ilim dünyasının, en elverişli sistemlerinden biri yapmıştır. Onluk sistemin bu hali için, Fransız matematikçi Pierre Siman Laplace (1749-1827), bu konuda "Dünyanın en faydalı sistemlerinden biridir." demektedir.

ESKİ HİNT MEDENİYETLERİNDE SIFIR.

Romalı ve Çinlilerin eksine, Eski Hint alimleri, aritmetik işlemleri, özel bir harf ve işaret belirtmeden, sadece 1 den 9 a kadar olan rakamlardan istifade ederek yazarlardı. Rakamla, hesap yapmanın tek örneği olan, bu pozisyonun tespiti ve yazılması merhalesine ulaşanlar, sadece Eski Hintliler ve Mayalardı.
Kaynaklar; Hindistan'dan, 300 yıl kadar önce, sayı işaretinin, rakam şekline dönüşmeye başladığını belirtmekte. Hintliler, en geç, 6. yüzyıla doğru, belki de biraz daha önceki tarihlerde, aritmetik işlemlerde, sadece 1 den 9 a kadar devam eden dokuz ayrı rakam halinde kaldılar. Böylece, hesap işlerinde, sağdan sola doğru çoğalan (yükselen) rakamlar, ilk olarak ortaya çıktı (görüldü). Bu rakamlar, hemen hemen 622 yılından itibaren Hindistan dışında da tanınmaya başladı. Fırat'ta bir okul müdürü, aynı zamanda da manastır idarecisi olarak çalışan Suriyeli alim Sevarus Sabokht : "Bilinen bütün usullere üstün olan, Hint hesabının, yani dokuz ayrı rakamın (işaretin) maharetli usulünden bahseder" Bu durum, Hint rakamlarının mahzar olduğu ilk taktirdir. S. Sabokht, bu dokuz ayrı rakamlarla, yeni bir usul dahilinde hesap yapabildi.
Ancak; bu dokuz ayrı rakam, bazı sayıları ifade etmeye yeterli gelmiyordu. Çünkü; üç bin yedi yüz elli dört olan bir sayıyı 3754 şeklinde belirtmek mümkündür. Değeri üç yüz sekiz olan bir sayının da, 38 şeklinde meydana çıkmaması için, noksan (boş) kalan onlar basamağına (hanesine) değişik bir işaretlemenin yapılması zorunludur. Noksan (boş) kalan, basamağı (haneyi) işaretleyip, belirtmek için "boşluğu" şekillendirmek, anlamlandırmak zorundaydılar. Noktayı "sunya" veya "sunyabinde" , boşluk veya içi boş yuvarlağı da "kha" kelimesi ile adlandıran Hint alimleri, boş kalan basamağa (haneye), sembol olarak "daire" veya "nokta" şeklinde yeni bir sembol verdiler.
Düşünce tarihin en önemli olaylarından biri sayılan, bu sayı yazısına, son mükemmeliyeti Hintliler'in vermiş olduğu ortaya çıkmaktadır.
O halde, menşe itibariyle, sadece, basamak sistemi içinde, noksan basamağa (haneye) gerekli işaret olarak başvurulan bu sembol, yani bugünkü ifadeyle "sıfır" rakamı, derhal müstakil bir sayı şeklinde, ilk olarak Hint hesabında ortaya çıkmıştır.
Bu sayı işareti, yani "0" (sıfır) veya "." (nokta) anlamındaki işaret, miladın 400. yılında, ilk defa Hint yazılı eserleri içinde görülmeye taşlar. Hint Dünyası'nın, ünlü matematikçi ve astronomu Brahmagupta (598-660) , 632 yılında yazdığı, astronomi konuları ile ilgili Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı sayı işareti ve sıfır ile birlikte hesap yapmaya dair kaideleri göstermiştir.

TÜRK-İSLAM DÜNYASINDA SIFIR.

773 yılında, Kankah isimli Hintli bir astronom, Halife el-Mansur'un (754-775), Bağdat'taki sarayına gelir. Zamanın ünlü İslam alimi İbn'ül Adami, astronomi cetvelleri ile ilgili eserinde, ilim tarihi için önemli olan bu olayı, "İnci Gerdanlık" başlığı altında şöyle açıklar;
"Hicretin 156. (773) yılında, Hintli bir alim elinde bir kitapla, Halife el-Mansur'un huzuruna çıkar. Kardağa'ların Kral Figar adına istinsah ettikleri bir kitabı, Halifeye sunar. El-Mansur, bu eseri, hemen Arapça'ya çevrilmesini ve gezegenlerin hareketleri ile ilgili bir eser yazılmasını emreder... Bu görevi, Muhammed bin İbrahim el-Fezari üzerine alarak 'Astronomlar Nazarında Büyük Sinhind' adlı bir eser yazar. Bu eserin etkinliği, halife el-Memun zamanına kadar sürer. Eseri, Muhammed bin Musa el Harezmi, astronomlar için yeniden hazırlar (yazar). Sinhind Metodunu uygulayan astronomlar, eseri çok beğenirler ve konusunun süratle yaygınlaşmasını sağlarlar."
Hintli alimin, beraberinde Bağdat'a getirdiği ve onunla, önce Halife el-Mansur'un ilgisini çektiği kitap, gerçekte Brahmagupta'nın Siddhanta adlı eserinden başka bir eser değildi. Sinhint adıyla Arapçaya çevrilen bu eser, zamanın halife ve alimleri arasında, hemen ilgi görüp süratle yayıldı.
Harezmi tarafından yeniden hazırlanan söz konusu eser, İngiliz tercüman Baht'lı Adelhard tarafından, zamanın ilim dili olan Latinceye tercüme edildi ve Batılı alimlerin istifadesine sunuldu. Bu tercüme kitap; Hint sayılarını açıklayan, Hint hesabını, sayı yazısını, toplama ve çıkarma, ikiye bölme, iki misli artırma, çoğaltma ve bölme ile kesir hesabını öğreten Hesap Sanatına Dair adlı ikinci eserdir.
Bu Latince tercüme eser, önceleri İspanya'ya gelir ve 12. yüzyıl başlarında, Orta Avrupa'ya geçerek yaygınlaşır.
Hint alimleri, daire şeklinde gösterdikleri ve bugünkü ifadeyle "0" (sıfır) olarak adlandırılan kelime için, bir şeyin hiçliği ve boşluğu anlamını ifade eden "sunya" adını vermişlerdir.
İslam alimleri (Araplar) da bu işareti ve anlamını öğrenince; Arapçada boşluk anlamına gelen "es-sıfır" adını vermişlerdir.
Leonardo, es-sıfır kelimesini Latince'ye tercüme ederek Latince metinlerde cephrum şeklinde Latince'leştirdi.
Daha sonraki yıllarda, Avrupa'nın değişik memleketlerinde, değişik yazım (imla) şekilleri kazanmıştır. Bunlardan :
Leonardo'nun eserine istinaden, önce zefero, daha sonra da zero yazım şeklini aldı ( Livra kelimesinin zamanla lira yazım şeklini alması gibi.)
Fransa'da ise; gizli işaret anlamına gelen chiffre şeklinde adlandırılan cephirum kelimesi, chiffer = hesap yapmak şeklini alarak, yaygınlaşmaya devam etti.
Batı'da, İtalyanca aynı anlama gelen, zero kelimesinin kabülü sonucu, bu kelimenin iki ayrı anlamı sebebiyle İngiltere'de cipher ve zero şeklini aldı.
Almanya'da da, ziffer yazım şeklini aldı. 14. yüzyıldan sonraki yıllarda da ziffern yazım şeklinde kullanılmaya başlandı.
Saverus Sabokht, Brahmagupta ve Harezmi isimleri, Arap rakamlarının, Batı'da görülmesinde birbirini takip eden üç isim olarak karşımıza çıkmaktadır.
Batı literatüründe "Arap Rakamları" olarak bilinen, İslam Dünyası rakamlarının, sıfır "0" dahil olmak üzere, on ayrı şeklini Batı'ya ilk defa öğreten, papalık tahtının şair ve matematikçisi Gerbert olmuştur. Gerbert'in etkisi tam sekiz yüz yıl devam etmiştir.
Gerbert, öğrenimini Aurlillac Klisesinde tamamlamıştır. Burada edindiği bilgiler sonucu, birçok matematikçinin dikkatini çekti. Sonuçta da, matematik araştırmalarını hızlandırdı. İstinsah faaliyetlerini çoğalttı. Gerbert, hakkında değişik rivayetler vardır. Bu rivayetler hakkında, geniş bilgi, müsteşrik Sigrid Hunke tarafından hazırlanan İslam'ın Güneşi Avrupa'nın üzerinde eserde bulunmaktadır. Bu rivayetlerden birisi şudur :
Gerbert, sıfır kavramını bilmiyordu. Mesela 1002 sayısında sıfır 0lmayınca, yazılanların anlaşılması mümkün değildi. Gerbert ve öğrencileri, sıfır hakkında, herhangi bir bilgiye sahip olmadıklarından, yapılanların manasını kavrayamadıkları anlaşılmakta. Gerbert, sayı yazısını, Batı Arapları'ndan getirir. Araplardan, İspanya seyahati sırasında öğrendiği sanılmaktadır.
Gençliğinde itibaren, Hindistan'ın bir ucundan öbür ucuna yaptığı bir çok seyahatlerle, Hint dilini ve ilmini tam anlamıyla Öğrenen Gertert'in çağdaşı olan Beyruni'den o sıralarda, Hindistan'da yazılmış harf şekillerinin ve ilk rakam şekillerinin diğer memlekete geçince, değiştiğini öğreniyoruz, Beyrurıi, Araplar'ın, Hintliler'den en elverişli rakamları aldıklarını açıklar. Araplann birbirinden farklılık gösteren iki çeşit , Hint sayı yazısını kullandıklarını, Harezmi de açıklar.
Harezmi tarafından, 830 yılında yazılan eserin ilk kopyaları, Viyana Saray Kütüphanesinde bulunmaktadır. Bu elyazmaları (manüskri), 1143 tarihini taşımaktadır. Salen Manastırı'nda bulunan ikinci bir kopya ise, bugün Heilderburg'ta muhafaza edilmektedir.
Avrupa, ilim dünyasında sunulan bu önemli belge ile, Araplar'ın, önce birler basamağından başlayarak, rakamları sağdan sola doğru yazıp okuduklarını, bu eserden öğrenir. Harezmi'ye ait bu eserde; toplama ve çıkarma işlemlerine ait örnekler görülmektedir.
Latince tercümesinde, bugünkü yazım şekline göre, "0" (sıfır) a ait bir örnek Şöyledir :
38-18=20

"Sekiz diğer sekizden çıkınca, geriye bir şey kalmaz. Bu takdirde, boş kalmaması için, bir dairecik koy. Dairecik, boş hanenin yerine geçmek zorundadır. Eğer bu hane boş kalırsa, diğer haneleri de tahdit edilmiş olurlar. Artık ikinci hane, birinci hanenin yerini tutar. Yani; ikinci hane, birinci haneden başka bir şey değildir."
Bugünkü bilgilerimize göre basit gibi görünen, ancak zamanın matematik görüşü olarak son derece önemli olan bu açıklamanın böyle olması düşünüldüğünde, Harezmi'nin görüşü olan açıklamanın önemi kendiliğinden ortaya çıkar. Şöyle ki; sıfır, ilk basamağın aksine, sola konsaydı, "02" gibi bir sayı elde edilir ki, ikinin solundaki sıfır sonucu değiştirdiğinden, Harezmi'nin matematik görüşünün zamanı matematik bilgileri karşısındaki önemi açık olarak ortaya çıkar.
Brahmagupta'nın ,Siddahta adlı eseri, 776 yılında, Saverus'tan 114 yıl sonra, Arapça'ya çevrilen bir eserinin içinde yer almıştır. Gerbert'ten yüz yıl sonra, Harezmi'nin Latince tercümesi, Orta İspanya yoluyla Batı'ya ulaşır.
Bu tarihlerde, "Arap Sayı Yazısının", ilim dünyasındaki zaferine çığır açan başka bir şahıs ile karşılaşıyoruz.
Pizza'lı Leonardo (1180~ ?) ; matematik bilgisinin, esaslarını bizzat, ilk kaynaklarından, yani Mısır'a yaptığı uzun süreli seyahatler sonucu elde etmiştir. Elde ettiği bilgileri de, Batı'ya öğretmiştir. Leonardo'nun babası, Cezayir sahillerinde ticaret işleri ile meşgul idi. İslam medeniyetinin etkinliğini gören, baba Leonardo, oğlunu yetiştirmek için yanına çağırır. Oğlu Leonardo Hint, yani Arap (İslam) rakamları ile hesap yapmaya hayran kalır. Hint hesap sistemlerinin, her türlü uygulamasını öğrenir. Bu arada, İskenderiye ve Şam kütüphanelerinde, eline geçirebildiği ilmi değeri olan eserleri de toplayıp, Avrupa'ya götürdüğü tarihi bir gerçek olarak bilinmektedir.
Oğul Leonardo, İslam (Arap) hesap öğretmenlerinden, öğrendiği bütün bilgileri sıfır rakamı dahil olmak üzere, çevresindekilere, uygulamaları ile birlikte öğretir. Oğul Leonardo'nun bu öğretisi sırasında konu ettiği rakamlar, bugünkü gösterim şekliyle şöyledir;

Bu rakamlar, Arapçada "sıfır" adı verilen "." işareti ile her türlü hesabın yapılabildiğini açıklar.
Matematikte; bugün Türkçe'mizde gösterim şekli olan, "0" (sıfır), Arapça'da gösterim şekli olan "." (sıfır) sembolü ile, Türkçe yazım §ekli olan "sıfırı" ve aynı anlama gelen, diğer Batı dillerinde kullanılan ve "rakam" ve "yazım" şekillerinin tarihi gelişimleri, ayrıntılı olarak incelemeye değer bir konudur.

SIFIRIN TARİHİ KRONOLOJİSİ.

M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.
M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.
M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.
M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.
M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.
M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.
M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.

EULER Sayısı - e sayısı

2009-08-14T13:59:00.000-07:00

e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayı, doğal logaritmanın tabanı. e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz.

e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.

Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Matematiksel ifadelerde çok karşılaşılması bakımından e sayısı çok önemlidir. Doğayı incelediğimizde , tabiatın etkinliklerinin çoğunluğunun belirli bir karekteristiğe sahip olduğu görülür. Herhangi bir büyüklüğün miktarında meydana gelen değişiklik büyüklüğün miktarına bağlıdır. Bu olay bir tabaktaki bakteri, radyoaktif madde miktarı veya elektrik akım miktarı olabilir. e sayısının rastlanmasına günlük hayattan bir örnek olarak bir lira % 10 faiz altında bir yıl sonra iki lira olur. Ancak faizler altı aylık hesaplanırsa bir yıl sonra 2,25 lira olarak ortaya çıkar. Eğer faiz üç aylık hesaplanır ise bu sonuç 2,37 civarındadır. Ancak faiz hesaplama süresi azaldıkça sonuç e=2,718... değerine yaklaşır.

Bal Peteğinin Müthiş İlmi

2009-08-14T13:52:00.000-07:00

Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):

N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)

ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3'te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4). Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999'da ispatını ancak yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır şaşırmadan Sevk-i İlâhî ile uygulamaları, Allah'ın ilhâmından başka ne olabilir ki... Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen dışında başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.

Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.

Araştırmacılar, Toth'un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth'un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü.

Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ

Kaynak:
R. McNeill Alexander, Optima for Animals, Princeton University Press, 1996.

Paradoks Nedir?

2009-08-14T13:46:00.000-07:00

Yunanca karşı, karşıt, zıt anlamına gelen para önekiyle, fikir düşünce anlamına gelen daxos sözcüğünden oluşmuş bir kelimedir paradoks. Mantık oyunları olarak da görülebilecek paradokslar, kendilerini çözdürmek için, heyecanlandırıcı ve eğlendirici bir serüvenin içine çekerek neredeyse insanı kışkırtırlar.

Paradoksal durumlarda birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun ya da birlikte varolması beklenmeyen iki niteliğin birarada çıkması söz konusudur, bazen de varılan paradoksal sonuç düpedüz mantıksal bir çelişkidir.

İsterseniz paradoksları birlikte inceleyelim
Yalancı paradoksu "Şimdi yalan söylüyorum."
Bu önermenin doğruluk değeri nedir? Yani "şimdi yalan söylüyorum" derken doğru mu söylüyorum yoksa yalan mı söylüyorum? Düşünecek olursak

Bu önermenin doğru olduğunu varsayalım. Öyleyse yalan söylüyorum. Ancak önermenin doğru olduğunu varsaymıştım öyleyse çelişkiye düştüm. Bu önermenin yalan olduğunu varsayalım. O zaman bu cümle doğru olmalıdır. Gene bir çelişki. (farkındayım zihniniz zorlanıyor.)

Berber Paradoksu
Bertrand Russell'ın 1918'de ortaya attığı berber paradoksu da "yalancı paradoksu" na benzer bir paradoks. "Seville'in kendini traş etmeyenlerini traş eden berberi kendini traş eder mi etmez mi?"Kendini traş etmeyenleri traş eden berber kendini traş ederse kendi kendiyle çelişki içine düşer. Kendini traş etmezse tanımdan ötürü kendini traş etmesi gerekir, ama bu da bir çelişkidir. Bu durumda bu berber berber dükkanını kapatıp yeni bir mesleğe atılmalıdır:))

Bu iki paradoksta da sonsuza uzanan bir kısır-döngü vardır.
İstisna Paradoksu
1. Bütün kuralların istisnaları vardır
2. Yukarıdaki cümle de bir kuraldır.
3. O halde onun da istisnaları vardır
4. Demek ki istisnaları olmayan kurallar da vardır.
Görüldüğü üzere 1. ve 4. cümleler birbirleriyle çelişki halindedir.

Timsah Paradoksu
Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini söyler. Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda çocuğunu kurtarır.

Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilememiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağının bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek.

Kısaca, bu iki durumda da timsah çocuğu ne yiyebilir ne de yiyemez.

İşte size başka paradokslar:

" YAPTIĞIM AÇIKLAMA YANLIŞTIR"
Eublides

" BÜTÜN GİRİTLİLER YALANCIDIR"
Giritli Eupiminides

" DÜŞMANLA KARŞILAŞTIK VE O BİZİZ"
Walt Kelley

" KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERMEYEN KÜMELERİN KÜMESİ KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERİR Mİ?"
Bertrand Russell

ALGI YANILMALARI
Matematikte paradoks olarak geçen algı yanılmalarını daha yakından tanıyalım.Göze veya akla ilk bakışta bakılan yönde doğru gelen şekil,ifade,anlatım vs. denir.Paradokslar çok çeşitlidir.Felsefe de de geçen bu konu Matematik 'ten çok eğlence bilimine daha yakın..Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür. İleride bolca misal vereceğimiz paradoksların, yapılmış birkaç tanımını aktaralım:

Kısaca paradoks:
'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'
'Kağıt-kalem veya mantık ilüzyonu'

BİR KAÇ PARADOKS

Paradokslar ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir, şaşırtıcıdır, zihni açar...
Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir. Giritli olan Epimenides:
-'Bütün Girit'liler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür. Nasıl mı?
Şöyle ki :
Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi). Bu cümle yalan olduğuna göre doğrusu şu olmalı:
-'Bütün Giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün Giritliler yalancıdır.

Günlük hayatta rastladığımız bir tane daha:
- Beni duyabiliyor musun?
- Hayır. Sesin gelmiyor (!)

Hemşerim memleket nire?
Memleketimizde bazı yer adları, kendisi ile çelişir:
Bakırköy: Adı "köy" olmasına rağmen ilçedir. Hem de yaklaşık 50 vilayetten bile büyük bir ilçe.
Viranşehir: "Şehir" değil, Ş.urfa'nın bir ilçesidir.
Kuşadası: "Ada" değildir.
Denizli: Denizli'de deniz yoktur.
Elmadağ, Kadifekale, Akdeniz, Gümüşhane...vs.

Bir otobüs ilanı:
-"Okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! Hemen aşağıdaki adrese başvurun..."
Okuma-yazma bilmeyen bir insan nasıl bu ilanı okuyacak! Okusa zaten o adrese başvurması gerekmez...
BU CÜMLEDEKİ HARF SAYISI OTUZYEDİ DEĞİLDİR. (37 Harf var)
SOCRATES'ten:
" Bildiğim tek şey var; o da hiç bir şey bilmediğim."
Karışım Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?CEVAP
Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?CEVAP
Russel Paradoksu:
1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:
" Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
" Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çeşit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.
Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır? devamı yakında..

Nasreddin Hoca:
Nasreddin Hoca bir gün heybe almak için pazara gider. Güzel bir heybe görüp pazarcı ile pazarlık yapar ve 1 akçeye anlaşırlar. Tam oradan ayrılacaktır ki daha güzel bir heybe dikkatini çeker:
- Kaç akçe şu heybe muhterem?
- 2 akçe hocam.
- Aldım gitti, diyen hoca elindekini bırakır ve onu alıp tam gidecekken pazarcı seslenir:
- Hocam. Bu heybe 2 akçe. Sen 1 akçe verdin.
Hoca sinirlenir:
- Bre cahil adam! Sana önce 1 akçe verdim. Sonra da 1 akçelik heybe bıraktım! İkisi eder 2 akçe. Daha benden neyin parasını istersin!

Temelden:
Temel, çalışmak için gittiği şehirden, köye babasına mektup yazar. Klasik mektup cümleleriyle başlayan mektup, şu notla biter:
-"Babacuğum. Acele cevabini bekliyrum. Yalnız, zarfa biraz da para koyarsan iyi olir. Oğlin Temel."
Aradan onbeş gün geçer ve mektubun cevabı gelir. Temel büyük bir heyecanla zarfı açar. İçinden sadece mektup çıkar. Mektubun sonunda da bir not vardır:
-"Oğlim Temel. Sana para göndereceydum. Ama aha bu geri zekali anan zarfi kapatmiş. Bir daha ki sefere evladim. İmza:Buban."

Müfettiş Paradoksu:
Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir. Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve:
-"Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız" derler.
Defterleri denetimden geçemeyecek kadar karışık olan işyerinin yetkilisi, biraz düşünür ve müfettişlere:
-"Galiba bu denetimi yapamayacaksınız efendim. Çünkü buraya geleceğiniz günü çok kolay tahmin edebilirim. Şöyleki:
Denetimi, onunucu ve sonuncu güne bırakmazsınız. Çünkü ben ilk dokuz gün gelmediğiniz takdirde onuncu gün geleceğinizi hemen bilirim. Dokuzuncu gün de gelmezsiniz. Çünkü ilk sekiz gün içinde gelmezseniz, dokuzuncu gün geleceğiniz açıkça belli olur. (Onuncu gün gelmeyeceğinizi az önce ispatlamıştım). Onuncu ve dokuzuncu gün gelemeyeceğinize göre denetimi, sekizinci güne de bırakamazsınız. Çünkü ilk yedi gün içinde gelmediğiniz takdirde sekizinci gün geleceğinizi hemen anlarım...

Yetkili, mantık oyunlarına müfettişlerden daha meraklıymış

Fibonacci Sayıları

2009-08-14T13:43:00.000-07:00

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci'nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değilde üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.

Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

F1 = 1

F2 = 1

Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2

Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946...

Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle:

F100 = 354 224 848 179 261 915 075

Kaynak:
Matematiğin Aydınlık Dünyası - Sinan Sertöz (TÜBİTAK)

Osmanlı Ölçü Birimleri

2009-08-14T13:38:00.000-07:00

Suyun debisinin ölçülmesinde kullanılan ölçü birimleri ; Su kaynağının debisinin ölçülmesinde birim olarak “lüle” kullanılmıştır. 1 lüle yaklaşık olarak 26 mm çapında bir borudur ve dakikada 36 litre su akıtır. Günlük yaklaşık 52 m3 su olarak kabul edilir. Şehir içinde yer alan su taksim istasyonlarında bulunan dağıtım sandıklarında kullanılan boruların günlük debisi ise dağıtım yapılan bölgenin ihtiyacına göre ayarlanmıştır ve aşağıdaki gibidir.

1 Hilal 0,5625 lt/Dak. (Günde-0,81 m3)
Çuvaldız 1,125 lt/Dak. (Günde-1,62 m3)
1 Masura 4,5 lt/Dak. (Günde-6,48 m3)
1 Kamış 9 lt/Dak. (Günde-12,96 m3)
1 Lüle 36 lt/Dak. (Günde- 51,84 m3 ~ 52 m3)

Uzunluk ölçüleri ;

Uzunluk ölçü birimi olarak “arşın” kullanılmış olmakla beraber , çarşı arşını ile mimar arşını ( Zira-ı Mimari / Zira ) ve dolayısıyla alt birimleride birbirinden farklıdır.
Çarşı ölçüleri
1 Arşın 0,6858 mt.
1 Rub (urub) 0,0857 mt. (1/8 Arşın)
1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 mt. (1/16 Arşın)
1 Endaze 0,6525 mt.
Mimar ölçüleri
1 Arşın (Zira) 0,757738 mt.
1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 mt.
1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 mt.
1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 mt.
Çarşı ölçü birimi ve 68,58 cm’e karşılık gelen Arşın ölçü birimi ile yine bir çarşı ölçü birimi olan ve 65,25 cm’e karşılık gelen Endaze ölçüleri birbirlerine çok yakın değerlerdedir.

Ağırlık ölçüleri ;

1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg.
1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg.
1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg.
1 Okka/Kıyye (400 Dirhem) 1,282945 kg.
1 Dirhem 3,2073625 gr.
1 Miskal 4,5819464 gr.
7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 gr.
1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 gr.
1 Kırat (1/4 denk) 0,20046 gr.
1 Buğday (1/4 kırat) 0,05011 gr.

Mehmet İzzet’in 1912 baskısı İlm-i Hisab kitabına göre ise ağırlık ölçüleri farklı tarif edilmektedir.

Evzan-ı Kebire ( Büyük ağırlık ölçüleri) ;
1 Çeki 225,978 kg.
1 Kantar 56,450 kg.
1 Batman 7,692 kg.
1 Kıyye 1,282 kg.
Evzan-ı Mutavassıta ( Orta ağırlık ölçüleri) ;
1 Dirhem 3,207 gr.
1 Miskal 4,810 gr. ( 1,5 Dirhem )
1 Denk 0,80175 gr. ( 1/4 Dirhem )
Evzan-ı Hafife ( Hafif ağırlık ölçüleri) ;
1 Kırat 0,20043 gr. ( 1/4 Denk )
1 Bağdadi 0,0501 gr. ( 1/4 Kırat )
1 Fitil 0,0125 gr. ( 1/4 Bağdadi )
1 Nakir 0,00626 gr. ( 1/2 Fitil )
1 Kıtmır 0,00313 gr. ( 1/2 Nakir )
1 Zerre 0,00156 gr. ( 1/2 Kıtmır )

Alan Ölçüleri ;

1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600 zirakare )
1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 zirakare ) = ( 40 x 40 zira )
1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )
1 Zirakare= 0,57416 m2

Piramitler ve Gizemleri!!!

2009-08-14T13:31:00.000-07:00

Binlerce yıl önce yapılan piramitlerde bugün bile hala binlerce sır yatmaktadır.O tarihlerde piramitleri yapan insanlar herhalde metre kavramını bilmiyorlardı. Ve bütün bunları göz kararıyla yapmaları da imkansız. Bugün bile çok düzenli bir şekilde yapılan gökdelenlerde çok hafif bir sapma söz konusu olabiliyor. Peki o zamanlar bunları yapan insanlar ölçüm için ne kullandılar. Saniye mi? Arşın birimi mi? Mısır endazesi mi? Bilemiyoruz. Şimdi bu piramitlerde, özellikle Gize bölgesindeki büyük piramidin çeşitli oranlarda ölçümlerine bir bakalım. Bunların hepsi bir rastlantı mi? Olabilir. Ama bu kadar çok rastlantıda insani düşündürüyor!

Piramitlerin Gizemi...

* Her biri 20 ton olan taşlardan inşa edilmiştir ve bu taşları temin edilebilecek en yakın mesafe yüzlerce kilometre uzaklıktadır. Bu taşların nasıl getirildiği konusunda kesin olmayan farklı varsayımlar bulunmaktadır.
* Piramit, kimin adına yapıldıysa, onun bulunduğu odaya, yılda sadece 2 kez güneş girmektedir. (doğduğu ve tahta çıktığı günler)
* Mumyalarda radyoaktif madde bulunduğundan mumyaları ilk bulan 12 bilim adamı kanserden ölmüştür.
* Piramitlerin içerisinde ultra sound, radar, sonar gibi cihazlar çalışmamaktadır.
* Kirletilmiş suyu, birkaç gün Piramit'in içine bırakırsanız; suyu arıtılmış olarak bulursunuz.
* Piramit'in içerisinde süt, birkaç gün süreyle taze kalır ve sonunda bozulmadan yoğurt haline gelir.
* Bitkiler Piramit'in içinde daha hızlı büyürler.
* Piramit'in içine bırakılmış su, 5 hafta süreyle bekletildikten sonra yüz losyonu olarak kullanılabilir.
* Çöp bidonu içindeki yemek artıkları, hiç koku vermeden Piramit içinde mumyalaşır.
* Kesik, yanık, sıyrık gibi yaralar büyükçe bir Piramit'in içinde daha çabuk iyileşme eğilimi gösterir.
* Piramitlerin bazı odalarının içinde ne olduğu hakkında bir bilgi yoktur; araştırmacıların çoğu, ya içinde kayboldular ya da aynı yerde birkaç tur attılar, fakat içlerini göremediler.
* Piramitlerin içi yazın soğuk kışın sıcak olur
* Büyük Piramidin açıları, Nil'in delta yöresini iki eşit parçaya bölerler.
* Gize'deki üç piramit aralarında bir Pisagor üçgeni olacak şekilde düzenlenmişlerdir. Bu üçgenin kenarlarının birbirlerine göre oranı 3:4:5'dir.
* Büyük Piramidin tabanının yüzeyi, anıtın yarısının iki katına bölündüğünde pi=3,14 sayısı elde edilir.
* Büyük Piramidin dört yüzeyinin toplam yüzölçümü, piramit yüksekliğinin karesine eşittir.
* Büyük Piramit, dünyanın kara kitlesinin merkezinde yer alıyor.
* Büyük Piramit, dört ana yöne göre düzenlenerek inşa edilmiştir.
* Piramit dev bir güneş saatidir. Ekim ortasıyla Mart başı arasında düşürdüğü gölgeler mevsimleri ve yılın uzunluğunu gösterirler. Piramidi çeviren tas levhaların uzunluğu bir günün gölge uzunluğuna eşittir. Bu gölgelerin tas levhalar üstünde gözlenmesiyle günün 0,2419 bölümünde yılın uzunluğu yanlışsız olarak saptanabiliyordu.
* Büyük Piramit'le dünyanın merkezi arasındaki uzaklık, Kuzey kutbuyla arasındaki uzaklığa eşittir ve kuzey kutbuyla dünyanın merkezi arasındaki uzaklığa eşittir.
* Piramidin yüksekliğiyle,çevresi arasındaki oran, bir dairenin yari çapıyla çevresi arasındaki oranın dengidir. Dört kenarlar dünyanın en büyük ve çarpıcı üçgenleridir.
* Gizde'den geçen boylam, dünyanın denizleriyle anakaralarını iki eşit parçaya böler. Bu boylam ayrıca,kara üstünden geçen en uzun kuzey-güney yönlü boylam olup,bütün yer kürenin uzunluğuna ölçümünde doğal sıfır noktasını oluşturur.
* Büyük piramidin tepesi Kuzey kutbunu, çevresi ekvatorun uzunluğunu temsil eder. Ve iki uzunluk ayni mikyasa uygunluk gösterir.
Gize piramitleri tahmini olarak M.Ö 3000 yıllarında eski krallık döneminde yapıldığı zannedilmekte. Bunlar; Keops, Kefren ve Mikerinos piramitleridir ve isimlerini aldıkları firavunlar tarafından yaptırılmıştır. Gize piramitleri dünyanın en büyük piramitlerdir. Bunlarla birlikte ve Mısır'da yüzlerce irili ufaklı piramit mevcuttur. Gize piramitlerini diğerlerinden ayıran farkların başında içlerinde yazı bulunmaması ve nasıl yapıldıklarının hala çözüme ulaşmamış olmasıdır. Keops'un oğlu Kefren için yapılmış piramit 136 metre yüksekliğe sahip. Kefren piramidinin dış yüzeyinde yer alan kaplamalar bugün sadece tepesinde görülebilmekte.

Gize piramitlerinden İçi ziyaret edilebilen tek piramit olan Kefren piramidinin mezar odası.

Piramitler ile ilgili çeşitli matematiksel bulgular arasında ilginç olanları şunlar: Keops piramidinin yüksekliğinin 1 milyarla çarpımı yaklaşık olarak güneşle dünyamız arasındaki mesafeyi veriyor. (149.504.000km). Piramitlerin üzerinden geçen meridyen karaları ve denizleri tam iki eşit parçaya bölüyor. Keops Piramidinin Taban çevresinin, yüksekliğinin 2 katına bölünmesinin pi=3.14 sayısını veriyor.

62 metre yüksekliği ile Gize Piramitleri içerisinde en küçüğü olan Mikerinos Piramidi Kefren'in oğlu için yaptırılmış.

Piramitler hala yapımları esnasında ki gizi korumaktalar. İşçilerin olağanüstü bir çabayla günde 10 metreküp taşı üst üste koyduklarını kabul edersek keops piramidinde yer alan yaklaşık 2.5 milyon metreküp taş, 250.000 gün, yani yaklaşık 664 yılda yerleştirilebiliyor. Oysa piramitler 20 ila 30 yıl arasında bir sürede tamamlanmıştır.

Sfenks -

70 metre uzunluğunda ve 30 metre yüksekliğinde olan Sfenks 14.yy da Memluk'lar tarafından top bataryalarına talim hedefi olarak kullanılmış ve ciddi biçimde zarar görmüş. M.Ö. 2520 yılında Keops'un oğlu Kefren'in mezar kompleksi için yontulmuş. Sfenks Mısır dilinde 'SEZP-ANHE' Yaşayan görüntü) anlamında. Tarih boyunca Sfenks Nil nehrine bakıyor ve nehir yoluyla gelenleri karşılıyordu.

Pi Sayısının Serüveni!

2009-08-14T13:18:00.000-07:00

Pi sembolü, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı.Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.

Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828... sayısı için, L. Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir. İnsanoğlu; daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların gözbebekleri ile gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki (sezinliyordu ki), dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse, çevresi de o kadar büyüyordu. Sonra gene düşündü, cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu.

Demek ki; bugünkü gösterim şekliyle, bu sabit orana dersek; Çevre/Çap = sabit. Şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu. Pi sayısına ait ilk bilgilerin Eski Mısırlılar'da mevcut olduğunu görüyoruz. Mısırlılar, yüzey ve hacım hesapları yaparken, sayısına ait yaklaşık değer kullanmışlardır. Eski Mısırlılar'dan kalma, bazı papirüslerin, özellikle, Rhind Papirüsünün değerlendirilmesi sonucu, daire alanı için, bugünkü gösterim şekliyle : A = [1-(1/9)]2 .R2 (1) Formülünü kullandıkları anlaşılmaktadır. (Burada R yarı çapı göstermektedir.) Bu formül, yarıçapı cinsinden düşünüldüğünde, bugünkü gösterim ve düşünce şekline göre : .r2 = (8/9)2 .R2 (2) Şeklinde yazılabilir. Burada, 1 birim yarıçaplı çember düşünerek, r ve R için bilinen değerleri yazarsak : = 4.(8/9)2 = (16/9)2 (3) Sonucu Elde edilir. Bu durumda; Eski Mısırlılar'ın, için, 4.(8/9)2 değerini kullanmış oldukları anlaşılmaktadır. (3) değerini, ondalık kesir şeklinde düşündüğümüzde : = 4.(8/9)2 = 4.(64/81) = 3,1604 (4) Elde edilir. Fakat, için bazen kısaca 3 değeriyle de yetinildiği oluyordu. Bu durumda; bugünkü gösterim şekliyle düşünüldüğünde, Eski Mısırlıların, sayısı kavramını bildikleri ve değeri için 3,160 değerini Archimides'ten 2700 yıl kadar önce kullanmış oldukları anlaşılmaktadır. Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Acaba, Eski Mısırlılar, sayısının bu değerini hangi düşünceler, ya da ihtiyaçlar sonucu elde edebilmişlerdir? Bu sorunun cevabı hakkında kesin bir yargıya varmak çok güçtür.

Ancak bazı hipotezler (varsayımlar) ileri sürülmektedir. Bunlar : 1) 9 birim değerine eşit bir çapla çizilmiş bir daire ile 8 birim uzunluktaki bir karenin yüzölçümleri arasındaki pratik (amprik) karşılaştırmanın bu konuda esas olarak alınacağı farz edilmiştir. Bugünkü notasyonla ; k bir katsayıyı, R daire çapını, a kare kenarını göstermek üzere yazılırsa ; k.(R/2)2 .a2 yazılabilir. Buna göre a = 8 birim, R = 9 birim kabul edilirse, sayısını temsil eden değer : k.(9/2)2 = 82 k = 82 .(2/9)2 k = 64.(4/81) ise k = (256/81) = 3,1604... elde edilir. Bu hipotez doğru ise, Eski Mısırlılar bu sonuca nasıl varmışlardır? Bunun, meşhur "Bir daireye eşdeğer kare çizmek" problemi ile ne derece bir ilişkisi vardır? Bunu bilemiyoruz. Bunun hakkında kesin bir hüküm vermek bugün için mümkün değildir. 2) Ayrıca şöyle bir varsayım da ileri sürülmüştür; sayısının değeri, M.Ö. 2800-2700 yıllarına ait, Gize Kasabası yakınlarındaki büyük Keops Piramidi'nin ölçülerine göre de hesaplanabilmektedir. Keops Piramidi üzerinde yapılan incelemeler, bu piramidin inşa edildiği tarihte, bugünkü ölçü birimi i1e 232,805 metre kenarlı bir kare tabanı olduğu ve 148,208 metre yüksekliğinde bulunduğu izlenmiştir. Tabanın Çevresi : (4x232,805) = 931,22 metre olacağından, bu çevrenin yükseklik değerinin iki katına bölünmesiyle : (931,22)/(2x148,208) = 3,14159 Sayısı beş ondalıklı yakınlıkla, sayısının bilinen değerini vermektedir. 3)

Başka bir araştırmada da; Keops Piramidinin tabanı olan karenin kenarı 440 Eski Mısır kulacı, yüksekliği de, 280 kulaç değerini vermektedir. Bu sayılara göre : için : (Taban Çevresi)/(yüksekliğin İki Katı)=(4x440)/(2x280)=22/7 Değeri elde edilir. Bu değerin, ancak İskenderiye Okulu (M.Ö. III. yüzyıl) buluşları arasında ve Archimides değeri olarak gösterilmekte olduğu hatırlanırsa, gerçeğin nereden kaynaklandığı ortaya çıkmaktadır. Özet olarak belirtecek olursak; Eski Mısır mühendis ve mimarları, kutsal anıtları olan Büyük Keops Piramidi'nin inşaası sırasında, sayısının değerini biliyorlardı. Mühendislik hizmetlerinde; sayısının değerini maharetle kullanmış oldukları sonucu elde edilmektedir.

Sonuç olarak denilebilir ki; Eski Mıısırlılar'ın, Anıt-Piramit yüksekliği için; kare tabana, çevrece eşit bir dairenin çapını almak suretiyle, adeta mistik bir sayı olan irrasyorıel sayısına büyük önem verme ihtiyacını duydukları ve bu sayede (dolaylı yoldan) bilime hizmet ettikleri görülmektedir. sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak = 3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde nin yani = 3,125 değerine de rastlanılmıştır.

Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopatamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum açıkça mevcuttur" der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken için, 3 değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman = 3,125 değerini uygularlardı. Ancak nin, Mısırlılar'ınkinden ve Susa Tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, İlk önce Archimides tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar'ın, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde için kabul edilen değerin yani 3,125 olduğu anlaşılmaktadır. Kaynaklar sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir.

Archimides; sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak, Archimides'in gençlik yıllarında Mısır'da İskenderiye'de uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. Bu öğrenim sırasında, Cona ve Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur. Mısırlılar'dan Eratostanes, devrinin büyük bir matematikçisi olup; Cona da, Archimedes'in saygısını kazanmış büyük ve deneyimli bir matematikçi olarak tanınmaktadır. Archimides'in fikri yapılarının temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduğunu belirtmek gerekir. Bu konuda diğer bir gerçek de; Archimides'in sağlığında İskenderiye'de Öklid'den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir.

İskenderiyeli Tarihçi Herodot (Miladi birinci yüzyıl), metrika adlı eserinde sayısı için verdiği değer 3,58 tam 1/8 dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerlerle kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron'un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir. Nasıl bir sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani nin değeri rasyonel bir sayı mıdır? Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler. nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde.

Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre'li matematikçi Lambert, nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı. Pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras'tır (M.Ö. 500-428) Bir ara Atina'da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde edler. Daha sonra, Kilyos'lu Hippokrates (M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı) , aşağıdaki şekilde taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir. 18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu.

Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı. 1775 te Euler, 1794 te Legendra, nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, nin üstel olduğunu ispatladı. Aşağıda sayısının ilk 1000 basamağı verilmiştir. Sonsuza uzanan bu yolculuktaki çok çok ufak sayılabilecek bu 1000 basamak bile sayısının muhteşem güzelliğini gözler önüne sermeye yetmiyor mu, ne dersiniz?

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989...

M.Ö. 2000 : Eski Mısırlılar = (16/9)2 = 3.1605 değerini kullanıyorlar. M.Ö. 2000 : Mezopotamyalılar Babil devrinde = değerini kullanıyorlar. M.Ö. 1200 : Çinliler = 3 değerini kullanıyorlar. M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) , = 3 anlamına geliyor. M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir. M.Ô. 300 : Yılları, Archimides < < olarak ="211875/67441" batlamyos =" (377/120)" hing =" =" fau =" (142/45)" hui =" (471/150)" aryabhatta =" (62832/2000)" brahmagupta =" (m/10)" fibonacci =" 3.141818" otho =" (355/113)">

Matchsticks

2009-07-22T05:31:00.000-07:00

Verilen şekildeki istenen sayıda kibriti kaldırarak istenen sayıda kare elde etmemizi isteyen eğlenceli bir zeka oyunu. Zamana karşı da yarışacağınız bu oyun ingilizce olduğundan iki cümleyi açıklayayım. "Take away matches x to from y squares" cümlesi her bölümde karşınıza çıkacaktır. x ve y yerine değişik sayılar gelecektir. Tam olarak , " x tane kibriti kaldırarak y tane kareyi elde et " anlamına gelecektir. Biraz zor bir oyun.

Aşağıdan indirin...
http://uploaded.to/file/phwcop

Sudoku Deluxe

2009-07-22T05:19:00.000-07:00

Güzel bir sudoku oyunu daha...Meraklısına.Aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/128491152/Sudoku_Deluxe.rar

Gomoku

2009-07-22T05:04:00.000-07:00

Gomoku oyunu diger zeka oyunlarına benzese bile oyuna başladıktan sonra farklı olduğunu göreceksiniz. Dikey yatay ve çapraz olarak kendi taşını 5 adet yanyana ilk dizen oyunu kazanıyor. Ama bilgisayarı yenmek kolay, beklediğiniz kadar da kolay olmayabiliyor, çetin bir mücadele oyunda sizleri bekliyor. Oyunu oynamak son derece kolaydır, oynarken genelde mouse a ihtiyacınız olacak.

İNDİR:
http://www.aolej.com/files/gomoku.zip

Solotest 1.0

2009-07-22T04:54:00.000-07:00

Çocukluğumuzdan zeka geliştirici olarak oynadığımız oyunların başında gelirdi..Oyuncakçılarda satılan "SoloTest" oyunui Bilgisayara uyarlanmış hali.Çok kişinin bildiği ve zevkle oynadığı, zeka geliştirici ve tek kişilik bir oyun. Artı (+) işareti şeklinde, kalınlığı 3 tane şeklinde dizilmiş piyonların toplamı 44 ve en ortadaki 1 hane boş. Piyonlar sağa, sola, geriye ve ileri başka piyonların üzerinden atlayıp, kırarak oynayabiliyorlar. Böyle böyle tek bir piyon bırakmaya çalışıyorsunuz. Oyun kolleksiyonunuz zenginleşsin.Bu oyunu indirin.

Oyun nasıl oynanır?
Oyun alanında 44 tane piyon bulunmaktadır. Oyuncunun amacı, bu piyonları mouse yardımı ile taşıyarak; mümkün olduğu kadar az piyon bırakmaktır. Taşıma sırasında piyonlar ancak ve ancak bir piyon üzerinden atlatılabilir.

Mouse Kullanımı:
Sol Tuş: Piyonlar üzerinde iken kullanıldığında piyonların taşınmasını, piyonlardan arta kalan oyun alanında kullanıldığında ise formun taşınmasını sağlamaktadır.
Sağ Tuş: Formun herhangi bir yeri tıklandığında menünün görüntülenmesini sağlar. Bu menü ile yeni oyun açabilir, oyunu kaydedebilir veya kaydettiğiniz bir oyunu açabilir, oyun hakkında penceresini açabilir ve hatta oyundan çıkabilirsiniz.

Oyun Sonuçları:
1 Piyon: Bilgin
2 Piyon Zeki
3 Piyon Çok iyi
4 Piyon İyi
5 Piyon: Orta
6 Piyon Kötü
7 Piyon Çok Kötü
+8 Piyon Geri Zekalı (Sözüm meclisten dışarı-öyle diyolardı :))

İNDİR:
http://www.ozcombilisim.com/freeware/solotest.rar

Chessmaster Grandmaster Edition

2009-07-22T04:46:00.000-07:00

Harika bir satranç oyunu.Görsellik olarak da harika tasarlamıslar.Bu da oyunun kalitesini artırmış.

Aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/99325990/ChessM-GM_johnnypea.part01.rar
http://rapidshare.com/files/99326217/ChessM-GM_johnnypea.part02.rar
http://rapidshare.com/files/99326349/ChessM-GM_johnnypea.part03.rar
http://rapidshare.com/files/99326519/ChessM-GM_johnnypea.part04.rar
http://rapidshare.com/files/99326657/ChessM-GM_johnnypea.part05.rar
http://rapidshare.com/files/99326815/ChessM-GM_johnnypea.part06.rar
http://rapidshare.com/files/99327024/ChessM-GM_johnnypea.part07.rar
http://rapidshare.com/files/99327151/ChessM-GM_johnnypea.part08.rar
http://rapidshare.com/files/99327311/ChessM-GM_johnnypea.part09.rar
http://rapidshare.com/files/99327427/ChessM-GM_johnnypea.part10.rar
http://rapidshare.com/files/99327557/ChessM-GM_johnnypea.part11.rar
http://rapidshare.com/files/99327689/ChessM-GM_johnnypea.part12.rar
http://rapidshare.com/files/99327820/ChessM-GM_johnnypea.part13.rar
http://rapidshare.com/files/99327962/ChessM-GM_johnnypea.part14.rar
http://rapidshare.com/files/99328186/ChessM-GM_johnnypea.part15.rar
http://rapidshare.com/files/99328508/ChessM-GM_johnnypea.part16.rar
http://rapidshare.com/files/99328800/ChessM-GM_johnnypea.part17.rar
http://rapidshare.com/files/99329156/ChessM-GM_johnnypea.part18.rar
http://rapidshare.com/files/99329371/ChessM-GM_johnnypea.part19.rar
http://rapidshare.com/files/99329502/ChessM-GM_johnnypea.part20.rar
http://rapidshare.com/files/99329704/ChessM-GM_johnnypea.part21.rar
http://rapidshare.com/files/99329844/ChessM-GM_johnnypea.part22.rar
http://rapidshare.com/files/99329958/ChessM-GM_johnnypea.part23.rar
http://rapidshare.com/files/99330116/ChessM-GM_johnnypea.part24.rar
http://rapidshare.com/files/99330295/ChessM-GM_johnnypea.part25.rar
http://rapidshare.com/files/99330451/ChessM-GM_johnnypea.part26.rar
http://rapidshare.com/files/99330597/ChessM-GM_johnnypea.part27.rar
http://rapidshare.com/files/99330777/ChessM-GM_johnnypea.part28.rar
http://rapidshare.com/files/99330932/ChessM-GM_johnnypea.part29.rar
http://rapidshare.com/files/99331082/ChessM-GM_johnnypea.part30.rar
http://rapidshare.com/files/99331274/ChessM-GM_johnnypea.part31.rar
http://rapidshare.com/files/99331419/ChessM-GM_johnnypea.part32.rar
http://rapidshare.com/files/99331534/ChessM-GM_johnnypea.part33.rar
http://rapidshare.com/files/99331722/ChessM-GM_johnnypea.part34.rar
http://rapidshare.com/files/99331877/ChessM-GM_johnnypea.part35.rar
http://rapidshare.com/files/99332066/ChessM-GM_johnnypea.part36.rar
http://rapidshare.com/files/99332150/ChessM-GM_johnnypea.part37.rar

Sudoku Epic 4.43

2009-07-22T04:41:00.001-07:00

Sudoku oyunu severler için güzel bir sudoku oyunu.Oyunda 5 zorluk derecesi ayarlaması ve 5 büyüklük ayarlaması seçeneği mevcut.Ayrıca oyunda zamana karşı da yarılıyorsunuz.Oyunu "save" ve "load" seçenekleri de güzel taraflarından.Buyrun aşağıdan indirin.

İNDİR:
http://rapidshare.com/files/198134001/Kristanix.Games.Sudoku.Epic.v4.43.GAME-Lz0.rar

2. derece denklemler 2

2009-07-22T04:27:00.001-07:00

Daha önce 1.bölümünü yayınladığımız konunun 2.bölümünü sitemizden izleyebilirsiniz.

Öncelikle videoyu hazırlayan ekolhoca sitesine teşekkür ederek videoyu yayınlıyoruz.

Ekolhoca sitesine teşekkürler...

2. derece denklemler konusu hakkında merak ettiklerinizi ve bilmediklerinizi aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.İyi seyirler.....

2. derece denklemler-1

2009-07-22T04:24:00.000-07:00

Öncelikle videoyu hazırlayan ekolhoca sitesine teşekkür ederek videoyu yayınlıyoruz.

Ekolhoca sitesine teşekkürler...

2. derece denklemler konusu hakkında merak ettiklerinizi ve bilmediklerinizi aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.İyi seyirler.....

E.B.O.B. ve E.K.O.K

2009-07-22T04:20:00.000-07:00

Öncelikle videoyu hazırlayan ekolhoca sitesine teşekkür ederek videoyu yayınlıyoruz.

Ekolhoca sitesine teşekkürler...

E.b.o.b ve e.k.o.k konusu hakkında merak ettiklerinizi ve bilmediklerinizi aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.İyi dersler....

Matematik ve Firavunlar

2009-07-11T02:31:00.001-07:00

Mısır bilimciler, bulunmuş olan birkaç matematik papirüsü sayesinde antik Mısırlılar'ın hesaplama ve ölçümleme sistemleri hakkında bazı şeyler bilmektedirler. Bunlar, o zaman ortaya çıkan bazı sorunların nasıl çözüldüklerini göstermektedir.

En ünlülerinden biri, bugün British Museum'da sergilenen Rhind Matematik Papirüsü'dür. Bu sorunlara gelirsek, Mısır bilimcileri antik Mısırlılar'ın ağırlık, ölçü ve hacim hesaplamalarından ortaya çıkan farklı miktarlarla nasıl baş ettiklerini keşfetmişlerdir. Bunlar aynı zamanda açıları nasıl ayarladıklarını da göstermektedir.

Bugünün modern dünyasında bir açıyı ölçmek için bir daireyi 360 dereceye tamamlayan iletkiler kullanmaktayız. Her derece 60 dakikaya ve her dakika da 60 saniyeye bölünmüştür. Antik Mısırlılar ise, açıları hesaplamak için oldukça farklı bir yöntem kullanıyorlardı. Bu, dik açılı bir üçgenin uzun kenar oranı üzerine dayanıyordu. Sonuç olarak her türlü açıyı eğim olarak hesaplayabiliyorlardı. Benzer bir sistem, otoyollarda tepe eğimini gösteren eski tip tabelalarda görülebilir. Bunlar bir tepenin eğimini l :6 gibi sayısal oranlarla gösterirlerdi. Bunun anlamı, ufuk çizgisinden dikeye doğru açının altı eşit parçaya bölünmüş olduğudur.

Aynı şekilde antik Mısır'da da bir eğimin açısı seked olarak bilinen tam bir oran sayısıyla ifade edilirdi.

Anlaşıldığı gibi, bu teknikler Marlborough Downs'daki antik İngilizler'de de gözlem yapmak için hayati önem taşımaktadır.

Antik Mısırlılar'ın kullandığı yöntemi anladığımızda, Büyük Piramit'detci 51 derece-51 dakika gibi "garip" eğim açılarının oluştuğu da ortaya çıkmaktadır. Bu, piramidin yüksekliği ve tabanı arasındaki sayısal orandan kaynaklanmaktadır. Bu da Büyük Piramit'de 7:11'dir. Bu, piramitler hakkında okuduğum hiçbir kitapta bulamadığım basit bir gerçektir ve bütün piramitler için geçerlidir. Piramitlerin sayısal anahtarı, tabanlarının yüksekliklerine olan orantısında yatmaktadır.

Pratik açıdan -ki, antik Mısırlılar kesinlikle pratik insanlardı- bu yöntem, piramit yapılırken doğru eğim açısının korunup korunmadığını sürekli olarak kontrol etmek için en kolay yoldu.

Ama burada cevaplanması gereken soru, Giza Platosu'ndaki piramitlerde antik Mısırlılar'ın neden farklı eğim açıları kullandıklarıdır. Farklı oranlar neden önemliydi? Formül oluşturulduktan sonra diğer hepsinin Büyük Piramit'le aynı oranla yapılması daha pratik ve kolay olmaz mıydı?

Mısır bilimciler, bizi firavunların her birinin kendi bireyselliklerini ifade etmek için bu yönteme başvurduklarına inandırabilir. Ama başka bir neden daha olabilir. Belki de kullandıkları oranlarda farklı sembolik bağlantılara yönelmek istiyorlardı.

7:11 oranına dayanan en azından bir piramit daha vardır. Giza'nın 160 kilometre güneyinde kalan Meidum'da bulunan bu piramit, Keops'un babası Senefru'ya adanmıştır. 5. Hanedanlık'dan Sahure'ye adanmış olan ve Abusir'de bulunan başka bir piramidin de eğim açısı 51 derece 42 dakika olarak hesaplanmıştır. Bu, Büyük Piramit'in açısının kesiridir ve aynı şekilde 7:11 oranını kullanmaktadır. Diğer birçok Mısır'da olduğu gibi Sahure Piramidi'nin de sorunu, dış yüzeyi çok fazla zarar gördüğü için doğru açının tam olarak hesaplanamamasıdır.

Kefren Piramidi'nin eğim açısı, M.Ö. 2278'den 2184'e kadar hüküm sürmüş olan 6. Hanedanlık'dan II. Pepi'ninkiyle aynıdır. Bu piramit şu anda kalıntı halindedir ama kalıntılardan eğim açısını hesaplamak mümkün olmuştur. Daha sonraki Mısır piramitlerinin yapısı, Giza Platosu'ndakilere göre daha basittir ve zaman içinde çok fazla zarar görmüşlerdir. Birçoğu şu anda moloz halindedir. Ama Kefren'deki eğim açısı (3:4:5 üçgenini temel almaktadır), Rhind Matematik Papirüsü'nde açığa kavuşmuştur. Buna göre, antik Mısırlılar'da bu oran iyi biliniyordu.

Antik Mısırlılar'ın 3:4:5 üçgenini bilmediklerini savunan Mısır bilimcilerinin hatırına hipotenüs uzunluğu (5) hiç verilmemiştir. Ama piramitleri de içine alan matematiksel sorunlar, yüksekliğin taban uzunluğuyla orantısı olarak açının "seked"i şeklinde açıklanmıştır. 3:4:5 üçgeninde seked, 3:4 orantısıdır. Ama hipotenüsün uzunluğu hiç verilmezken, bunun nedeni Mısırlılar'ın bu uzunlukla hiç ilgilenmemiş olmalarıdır.

Büyük Piramit veya Kefren Piramidi gibi kesin ölçüm becerileri gerektiren muhteşem anıtları tasarlayabilen ve inşa edebilen insanların kullandıkları üçgenlerin hipotenüs uzunluklarıyla ilgilenmediklerine inanabilir miyiz? Ölçümlerinde tutarlılık arayan her insan, sayı, biçim ve geometri arayışlarında her türlü uzunluk ölçülerini elbette ki hesaplayacaklardır. Bu, çalışma yöntemlerinin temelidir. O halde, üçüncü kenarın uzunluğunu gizliden gizliye bildiklerine dayanarak sadece 3:4 oranını kullanmaya devam edeceğiz.

Giza piramitlerinde kullanılan taban-yükseklik orantısı, antik Mısırlılar tarafından kesinlikle biliniyordu. Birçok matematik metninde verilen örneklerde bu açıktır. Tabii ki piramitlerde kullanılan oranların keyfi olarak seçilmiş olması da mümkündür. Ancak bu özellikler, Mısırlılar'ın sanatsal ifade biçimlerinin hepsinde ortaya çıkmakta ve sayı sembolizmine verdikleri önemi vurgulamaktadır.

Bu oranların belli dini kavramları ifade eden anlamlar taşımaları yüksek olasılıktır. Diğer bir deyişle, Giza'daki yapıların tamamı kasıtlı bir şekilde ruhsal bir konuyu ifade etmek için yapılmıştı. Bu, piramit tasarımcılarının üç piramidin her birinde neden farklı eğim açılarını seçtiklerini açıklamaktadır.

The Orion Mystery'de Bauval ve Gilbert, Giza piramitlerini Orion takımyıldızına ve özellikle Orion kuşağındaki yıldızlara bağlayan kanıtlar göstermişlerdir. Bu takımyıldız aynı zamanda İsis ve Osiris mitinde de karşımıza çıkmaktadır ve daha önce de söylediğimiz gibi, bu piramitler üç temel ilah grubunu temsil etmek için yapılmış da olabilir; Osiris, İsis ve Horus'u.

Matematik Nasıl Matematik Oldu ?

2009-07-11T02:27:00.000-07:00

İki macar soylusu matematik yarışması yapmaya karar verirler. Yarışma kurallarına göre taraflar sırasıyla birer sayı söyleyecekler ve en yüksek sayıyı söyleyen yarışmayı kazanmış sayılacaktır. "Peki" der soylulardan biri "sen başla" . Öteki soylu uzunca bir beyinsel çalışmadan sonra ürününü ortaya koyar "üç !". Sıra birinci soyludadır.

Onbeş dakika kadar kendisinden ses çıkmaz. Ama yüz ifadesinden bütün benliği ile düşünmekte olduğu bellidir. Nihayet acı gerçeği teslim etmek zorunda kalır : "sen kazandın".

Şimdi çoğunuz bu yazıyı okuduktan sonra garip şeyler düşünebilirsiniz :). "Soylu moylu bir insan bu kadar da ebleh olamaz".Neden ? Çünkü aşağı yukarı 5000 yıldır insanoğlu(soylular dahil) üçten yukarı saymasını biliyor.

Bugün insanoğlu yalnızca sayı saymasını bilmiyor. Geometri, cebir biliyor. Sonsuz küçüklerle uğraşıyor ve türev alıyor, tümlev alıyor. Türevsel denklem çözüyor. Olasılık kuramıyla, çizge kuramıyla, topolojiyle uğraşıyor.

Matematik dediğimiz bu uçsuz bucaksız bilgi denizini nasıl yarattı insanoğlu ? Bir görüşe göre içinde bulunduğu toplumun "üstünde" yaşayan matematikçilerin eliyle. Buna göre matematikçiler etkinliklerini içinde yaşadıkları toplumdan bağımsız olarak sürdürürler. Ama doğal olarak ortaya konan ürün teknolojiyi etkilediği için matematik toplumsal değişmede etkidi olur. Matematikçiler bu etkinlikleri süresince kendilerine hoş gelen ya da uygun gördükleri kavramlar, soyut varlıkları - biraz da keyfi biçimde- yaratırlar ve bundan sonra herşey mekanik bir mantıksal kıyas yöntemiyle önermeler zinciri halinde büyür, gelişir. Matematikçinin bu somut gerçeklikten uzaklığı, doğal ki onun ortaya işe yarar bir ürün koymasına engel değildir. Hatta çoğu kez bu ürün çok çeşitli uygulama alanları bulur. Böylece matematikçi içinde bulunduğu toplumu etkiler, ama metametik salt matematikçinin ürünüdür. Böylece döner, dolaşır toplumun gelişmesindeki itici gücün toplumdaki deha sahibi bilge kişiler olduğu sonucuna varırız.

Bu görüş gerçekliğin üstünkörü bir biçimde yorumlanmasından kaynaklanır. Matematikçiyi toplumdan soyutlayıp fildişi kuleye hapseder ve matematiksel gelişmenin matematikçinin iradesiyle kendiliğinden olduğunu varsayar. Oysa matematikçi ile içinde yaşadığı toplum ayrılmaz bir bütün oluşturur. Bu bütünlüğü gördüğümüz zaman ancak, nasıl olupo da toplumun teknolojik gereksinimlerini karşılayabilmek için matematiğin yavaş yavaş ama emin adımlarla bugünkü durumuna geldiğini anlayabiliriz.

Matematik yaşamın nesnel koşulları, onun varlığını gerektirince dünyaya geldi. İlk matematikçi belkide sürüsündeki hayvanları saymaya çabalayan bir çobandı ?

Tarımla uğraşan toplumların en ilkeli bile mevsimlerle ilgili sayısal bilgiye gereksinim duyar. Bu ise takvim yapma ile ilgili sorunların çözümünü gerektirir. İlkel toplumların hemen hepsinin takvim tutma, dolayısıyla astronomiyle ilgilendiklerini biliyoruz.

Fenikeliler gibi tüccar gemici toplumların ekonomilerinin bir muhasebe sistemine, mirası bölüşme kurallarına, denizcilik sanatına, kısacası aritmetik,geometri, astronomiye olan gereksinimleri tartışma götürmez. Bu gelişme ticarete dayanan her uygarlıkta yer alır. Babil'de ve eski Mısır'da aritmetik ve gometrinin, Hindistan'da da cebirin başlaması işte bu gelişme sonucudur. Eski Mısır'da Nil taşkınlarından sonra toprak sınırlarının yeniden saptanması sorunu da geometrinin Mısır'a özgü itici öğelerinden biriydi.

Toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belli bir düzeye eriştikten sonra matematik artık yalnızca uzmanların anladıgığı bir meta haline geldi. Toplumun egemenlerinin bir araya getirdiği ve beslediği bu uzmanlar toplumda bir kast oluşturdular. "Gizli Şeyler"i elinde tutan bu insanlar tekellerindeki bu bilgi birikimi dolayısıyla toplumda büyük güç kazandılar.

Şimdi buraya "gizli şeyleri" ellerinde tutan bu insanları yazımın başında sözünü ettiğim "toplumun üstünde yaşayan matematikçi" kavramı ile karıştırmamak gerek. Tam tersine bu kişiler "gizli şeyleri" ile toplumun gereksinme duyduğu işlevleri yerine getirdikleri için güçlüydüler. Örneğin Mısır'da zamanı kahimler ölçerdi. Zaman gündüzleri güneşi, geceleri de yıldızları gözleyerek ölçülürdü. Nil taşkınlarının ne zaman olacağınıda belirlerdi kahinler. Gene "gizli şeyşerin" içinde dairenin, çokgenlerin alanlarının, basit bazı cisimlerin hacimlerinin nasıl bulunacağı da vardı.Örneğin üstü kesik bir pramitin hacmini bulabiliyordu kahinler.

Ancak gene de matematiğin bu yalnızca uzmanlarca bilinir olma niteliği sayı ve şekil konusunda belli bir gizemcilik de yaratmadı değil. Özellikle pisagorcu gizemciliğin Yunan bilim ve Felsefesi üzerindeki etkisi dikkati çeker.

Yunan toplumu üretimde kölelerin kullanıldığı, bu nedenle de üretimi artırmak için teknolojik gelişmeye pek gereksinme duymayan bir toplumdu. Bu durum toplumun egemenlerinin somut gerçeklikten uzaklaşmalarına yol açmıştı. Bu toplumsal yapı Yunan matematiğine gerçekten özgün bir nitelik kazandırmıştı: Uygulamayı hor görmek. Yunanlıya göre bir ürün uygulanabiliyorsa matematik olmazdı. Olsa olsa zanaat olabilirdi. Bunun sonucu Yunanlu nesnel gerçeklikten kaçar, onu yadsır oldu.

Yunan toplumunun bu yapısı Yunanlıların soyutlama ve akıl yürütme de gösterdikleri ilerlemenin nesnel tabanını oluşturur. Aynı zamanda bu yapının Yunanlaıların salt akıl yürütmekle gerçeğe ulaşabilceğine olan inançlarını doğurduğunu söylemek de yanlış olmaz. Bu nedenle yunan toplumu matematiğe modern anlamda kanıtlama tekniği kazandıran ilk toplumdur. Matematiği ilerletmek için yalnızca akıl yürütmeye dayanan Yunanlılar, geliştirdikleri kanıtlama yönemiyle, matematiğin daha sonraki dönemlerdeki gelişmesinde birincil etken olmuşlardır.

Yunanlı geometricilerin bu yolla elde ettikleri eşsiz başarı Yunanlıların nesnel gerçeklikten büsbütün uzaklaşmalarına yol açar. Örneğin Pisagorculara göre ,gerçek,güzellik ve iyi bir bütün halinde "sonluda" ve " duranda" aranmalıdır. Bu eğilim yunanlı geometrcilerin akıl yürütmelerindeki durağanlığı ve hareketsizliği açıklar. Örneğin Zeno, çok yaygın bilinen bir örnekte, bir noktadan atılan bir okun, izlediği her noktada duruyor olması gerektiğinden, hiç bir zaman hedefe ulaşamayacağını savunur;yani hareketi yadsır. Hatta öklid bile çemberi, bir noktadan eşit uzaklıkta hareket eden noktanın çizdiği eğri(yer eğrisi) olarak tanımlamaz da, hareket kavramını harekat kavramını gerektirmeyen bir tanım verir. Çember Yunanlıya göre düşünsel bir olarak hep vardır çünkü.

Öte yandan Hindistan'da tüccar bir toplum görüyoruz. Bu toplumsal yapının sonucu Hindular ticaret için gerekli aritmetiği ve toprak ölçmek için gerekli olan geometriyi geliştirmişlerdi. Hindular matematiğe Yunanlılardan çok farklı bir biçimde yaklaşıyorlardı : Matematik onlar için yaşamı kolaylaştıran bir araçtan başka bişey değildi. Bu nedenle Hindular matematiğin "teorik" yanı üzerinde pek durmadılar; Kanıtlara göre uzun boylu uğraşmadılar. Sayılara ne taptılar nede sayılardan korktular: İrrasyonel sayı herhangi bir sayı idi onlar için.

Ticaret kullanışlı bir sayı sistemi gerektiriyordu. Bugün bildiğimiz sayı sistemini geliştirdiler, sıfır kavramını icad ettiler.Dolayısı ile analiz ve cebiri geliştirdiler. Bu kavramlar daha sonra Araplar aracılığıyla batıya tanıtıldı ve özellikle 13.yy İtalyasında büyük ilgi gördü. Buradan da Avrupa'ya yayıldı.

Matematiğin Soyut Dünyası

2009-07-09T07:02:00.000-07:00

Hemen her bilim ve sanat, bir şekilde dünyada somut olarak varolan şeylerle ilgilidir; tıp, fizik, kimya, astronomi, vb. Matematikse köken itibariyle var olmayan soyut bir değer üzerinden varlığını devam ettiren nerdeyse tek bilim dalıdır. Fakat bu durum bu onun gerçek hayattan uzak olduğunu göstermemektedir. Aksine matematik, diğer bilimlerin pekçoğundan fazla hayatın en iç derinliklerine kadar yer alabilen her daim genç kalabilen çok özel bir bilimdir.

Genç kalabilmenin en önemli özelliği kuşkusuz değişimlere karşı kendini koruyabilme özelliğidir. Evrende var olan herşey zaman yüzünden sürekli bir değişim gösterdiğinden, varlıklarla bağlantılı olan bilim ve sanat dalları de değişimler göstermekte ve zaman zaman yaşalanmaya maruz kalabilmektedir. Nasıl ki yüz sene önceki insanla şimdiki insane bir değilse, yüz sene önceki tıp bilimi de şimdikiyle aynı değildir. Astronomlar gökyüzünde sabit sandığımız yıldızların bile çok küçük bile olsa bir ahareket içinde olduğunu bilirler. Bir manzara resmin yapan bir ressam, daha o resmi yaparken bile doğanın sürekli değişmeye devam ettiğinin farkındadır. Evrende somut olan herşey sürekli bir değişim gösterirken mateamtik evreni ise zamana inat sürekli aynı kalarak inanılmaz bir direnç göstermektedir. Bundan yüz sene öncede 2 kere 2 dört etmektedir, bundan bin sene sonrada. İlk bulunduğu günden beri pi sayısı 22 bölü 7 olarak sabit kalmakta ve varlığını devam ettirmektedir. Zamanın yaptığı etkiler dikkate alınacak olursa, hiç kuşkusuz en güvenilir, tarafsız ve sağlam bilim olarak mateamtik bilimi en önde olmaya devam edecektir. İyi de madem matematik dünyası hem kullandığı soyut değerler olarak hem de zamandan bağımsız kalabilme gücü sayesinde yaşadığımız gerçek dünyadan çok farklı bir özelliğe sahipse nasıl oluyor da gerçekte var olmayan şeylere ait bu bilgiler, yaşadığımız dünyada faydalı olabiliyor? Her ne kadar matematik kavram olarak soyut temellere dayanıyorsa da, her soyut değerde olduğu gibi matematik değerlerinin de oluşabilmesi için mutlaka dünyevi somut verilere ihtiacı olduğu kaçınılmaz bir gerçektir. Nasıl ki rüya görebilmek için önce dünyayı görebiliyor olmak gerekiyorsa, matematiksel soyurluklar için de, dünyevi bazı eşteşlerinin olması gerekmektedir. Bir çocuk rakamları, sayıları ve saymayı öğrenirken çnce etrafındaki nesnelerle işe başlamaktadır. Önce oyuncaklarının, çakıl taşlarının tek tek sayısını bilmek ister. Zamanla bunları yanyana getirerek toplama dediğimiz sürece geçiş yapar. Tıpkı bu şekilde insanoğlu matematiğe dair tüm temel kavramları aşama aşama geliştirme imkanı bulmuş olurlar. Her gelişen yeni matematik dalı ise yeni dünyevi gerçeklerin keşfedilmesinde temel bilgilere destek olmaya devam eder. Bu durum tıpkı çocukların büyüdüklerinde kendilerine bakan ailelerine destek olması gibi doğal bir süreçtir. Dr.Tugay Keçeci

Matematik ve Mantık

2009-07-09T06:59:00.000-07:00

İnsan aklının bir ürünü olan matematik, bir bilim alanı olarak, insanlık tarihi kadar eskidir. Matematik, başlangıçtan günümüze kadar doğrultusundan ve tutarlığından hiçbir sapma yapmadan sürekli gelişen bir bilim alanı olmuştur; aynı zamanda bütün bilimlerin gelişmesine öncülük etmiştir. Uygarlığın ulaştığı bugünkü düzeyde matematiğin önemi, rolü açıklanmaya gerek duyulmayacak kadar açıktır. Gelecekte de matematiğin yol göstericiliği olmadan hiçbir bilimin gelişebileceği düşünülemez. Matematik, kendi içinde tutarlı, çelişkilerden arındırılmış, başka hiçbir bilim alanında olmayacak kadar sarsılmaz bir yapıya sahiptir.

Matematiği bu derece önemli yapan, sağlam kılan şey, temelinde akıl yürütmeyle çıkartılan evrensel kuralların olmasıdır; ya da bir başka deyişle, kesin kurallar içinde aklın süzgecinden geçmiş olmasıdır, denilebilir. Akıl yürütme ya da usavurma, doğru düşüncelerden başka doğruların çıkartılmasıdır. Şimdi burada düşünce nedir, doğru düşünce nedir gibi soruların açıklanmasına girmeyeceğiz. Bunların açıklanması mantık bilim alanı içine girer. Ancak esas konumuz olan önermeler için kısa değinmeler yapmak yerinde olur.

Düşünce, insan aklında oluşan zihinsel bir olgudur; dil aracılığıyla ortaya çıkar, tümcelerle ifade edilir. Düşünceyi konu alan birçok bilim alanı vardır; bunlardan biri de mantıktır. Mantık, doğru ve sistemli düşünmenin adıdır; aynı zamanda doğru ve sistemli düşünmenin yollarını arayan, kurallarını koyan bilim alanıdır. Belki de en eski bilim alanlarından biridir. Mantık bilim alanı düşünceyi her yönüyle ele almaz; bir yargı taşıyan düşünceler mantığın konusu içindedir. Dolayısıyla, bu tür düşüncelerin dildeki ifadesi olan yargı tümceleri mantığın konusu içindedir. Yargı tümcelerine bundan böyle önerme diyeceğiz. Önermenin açık tanımı aşağıda verilecektir. Mantığın konusu önermelerdir. Akıl yürütme "öncül önermelerden yargı çıkarma (hipotezden hüküm çıkarma)" olarak ifade edilebilir. Mantık bilimciler akıl yürütmeyle doğru bilgi üretmenin bilimsel yollarını tümdengelim ve tümevarım diye ikiye ayırırlar. Gerçeğe varmak amacıyla aklın uyması gereken genel düşünce yasalarını ve işlemlerini araştıran Aristoteles (İ.Ö. 384-322), tümdengelimi esas alarak, bugün Klasik Mantık dediğimiz mantık türünün temellerini atmıştır. İki bin yılı aşkın bir süre aklın yoluna egemen olan bu mantık türü, ortaçağ sonlarına doğru, yeni bilgi üretiminde tümdengelimin tek başına yeterli olamayacağı, tümevarımın da önemli olduğu görüşünün yaygınlaşmaya başlamasıyla yeni bir ivme kazanmıştır. 18. yüzyıla girildiğinde, Francis Bacon (1561-1626) ile başlayan tümdengelime karşı çıkış ve tümevarımın öne çıkarılması, matematikçilerin konuya ilgi duymaya başlamalarıyla yeni bir döneme girmiştir.

Alman matematikçilerinden G. Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) ile başlayan yeni yaklaşım, yine Alman matematikçi Friedrich L.G. Frege (1848-1925) in niceleyicileri ve değişkenleri simgelerle göstermesiyle matematiği tamamen mantıksal bir temele dayandırma çabaları hem mantığın gelişimini hızlandırmış hem de matematiğe yeni bir anlayış kazandırılmıştır. Böylece bu dönemde, De Morgan (1806-1871), G. Boole (1815-1864), B. Russel (1872-1970) ile geliştirilen ve simgesel akıl yürütme denilen yöntemle matematikselleşen mantık Modern Mantık (ya da sembolik mantık, matematiksel mantık) adını almıştır. Matematik ve mantığın tarihsel gelişimleri pek çok farklılık göstermesine rağmen, bugün bu iki bilim alanını kesin çizgilerle birbirlerinden ayırma olanağı yoktur. Önceleri matematiğin mantıksal bir temele dayandırılması biçiminde başlayan gelişmeler, sonradan mantığın matematikselleştirilmesine yol açmıştır. Dolayısıyla bu iki alan birbirlerinin içine girmiştir. Gene de bugün, Klasik Mantık, Felsefe bilim alanı ve Modern Mantık da Matematik bilim alanı içinde düşünülür. Bu ünitede, Modern Mantığın temel kavramlarını tanıyacağız. Önermeleri, önerme işlemlerini, kullanılan simgeleri ele alacağız. Önermelerin matematikteki yerini, önemini göreceğiz. Matematiksel kanıtın ne olduğunu, kanıtlama yöntemlerini gözden geçireceğiz. Açık önermeler konusu üzerinde duracağız. 1.2. Önermeler İçin Temel Kavramlar Dilimizdeki tümceleri emir, istek, ünlem, soru, yargı tümceleri diye sınıflarız.

Bizim konumuz yargı tümceleri olacaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim: (i) Ankara, Türkiye'nin başkentidir. (ii) Ankara, Türkiye'nin en kalabalık kentidir. (iii) Güneş kuzeyden doğar. (iv) Yağmur yağıyor. (v) 2 x 3 , 5 etmez. (vi) Buraya geliniz. (vii) Bugün günlerden nedir? (viii) Ah! güzel İstanbul. Yukarıdaki tümcelerin her birini okuduktan sonra "doğru mu?", "yanlış mı?" sorularını soralım. (i) ve (v) için yanıtınız "doğru", (ii) ve (iii) için "yanlış" olacaktır. (iv) deki yanıt o andaki duruma bağlıdır; o anda yağmur yağıyorsa "doğru", yağmıyorsa "yanlış" olacaktır. (vi), (vii), (viii) deki tümceler, için bu soruların anlamlı olmayacağı açıktır. Bu örneklerden anlaşılabileceği gibi kimi tümceleri taşıdıkları yargıya göre "doğru" ya da "yanlış" diye değerlendirebilmekteyiz. ((i) - (v) deki örneklerde olduğu gibi). İşte bu tür bir yargı tümcesine önerme diyeceğiz. Şimdi önermenin açık bir tanımını verelim. 1.2.1. Tanım Bir yargı taşıyan ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebilen tümcelere önerme denir. 1.2.2. Örnek Aşağıdaki tümcelerin önerme olup olmadıklarını belirleyiniz. (i) Kar beyazdır. (ii) Paris İngiltere'dedir. (iii) Nereye gidiyorsunuz? (iv) Uçan kuşlar kanatlıdır. (v) Sinemaya gidelim. (vi) Pırasa yararlı bir sebzedir. (vii) Yüzme tehlikeli bir spordur. (viii) { Bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce yanlıştır } Çözüm Bu tümcelerden (i) ve (iv) dekinin doğru, (ii) dekinin yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. O halde, (i), (ii) ve (iv) deki tümcelerin her biri birer önermedir. (iii) ve (v) deki tümceler yargı tümcesi olmadıklarından önerme değildirler. (vi) ve (vii) deki tümcelerin taşıdıkları yargı yanıtlayan kişiye göre değişecektir. Kimine göre yüzme tehlikeli bir spordur, kimine göre de değildir. Fakat bir kimse bu tümce için ya "doğru" ya da "yanlış" diyebilecektir; hem "doğru" hem de "yanlış" diyemeyecektir. O halde (vi) ve (vii) tümceleri de birer önermedirler. (viii) deki tümceyi ele alalım. Önce bu tümcenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman bu tümce yanlıştır, çünkü kendisi de bir ayraç içinde yazılıdır. Şimdi bu tümcenin yanlış olduğunu varsayalım. Öyleyse bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce doğru olacaktır, demektir. Bu nedenle bu tümce doğrudur. Böylece (viii) deki tümce hem doğru hem de yanlış olmaktadır; bir başka ifadeyle, bu tümcenin yargısı kesin olarak belirlenememektedir. Bu nedenle bu tümce bir önerme değildir. Aşağıdaki tümcelerden hangileri birer önermedir?

• Güneş doğudan doğar, batıdan batar.
• Dünya yuvarlaktır.
• Kimi canlılar ölümsüzdür.
• Oksijen yakıcı, hidrojen yanıcı bir gazdır.
• Bahçeye çıkalım mı?
• Kapınızı kilitli tutunuz. Verilen bir önerme yalnızca bir yargı taşıyorsa, böyle bir önermeye yalın önerme denir. Birden çok yargı taşıyan bir önermeye de bileşik önerme denir. Bileşik önermeler yalın önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlar yardımıyla elde edilirler. Bileşik önermeleri oluşturmak için kullanılan bu tür bağlaçlara mantık bağlaçları adı verilir. Örneğin, "Bugün hava soğuk ve yağışlıdır", "iki çift sayının toplamı bir çift sayıdır veya Ankara Türkiye'nin başkentidir." önermeleri bileşik önermelerdir. Bunlardan birincisi "ve", ikincisi "veya" bağlacıyla yalın önermelerden elde edilmişlerdir. Yine ikincisinden görüldüğü gibi iki yalın önermenin bir mantık bağlacıyla bağlanması için bu yalın önermeler arasında bir ilişki olması gerekmez. Ayrıca "ve" bağlacıyla birleştirilen önermelerde "ve" sözcüğü yerine "virgül" konulabilir: "Bugün hava soğuktur, yağışlıdır" örneğinde olduğu gibi.

Önermeleri ve mantık bağlaçlarını simgelerle göstermek, önerme işlemlerini simgelere dayandırmak hem kısalık hem de kolaylık sağlayacaktır. Bu nedenle genellikle yalın önermeleri p, q, r, ... gibi küçük harfler ile "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" mantık bağlaçlarını da, sırasıyla, "∧", "∨", "→", "↔" simgeleriyle göstereceğiz. Sözgelişi p: Bugün hava soğuktur, q: Bugün hava yağışlıdır yalın önermelerinden "ve" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p ∧ q: Bugün hava soğuk ve yağışlıdır olur. p, q önermelerinden "ise" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p → q: Bugün hava soğuk ise yağışlıdır biçiminde yazılır. Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri adı verilir. Doğru bir önermenin doğruluk değerini D, yanlış bir önermenin doğruluk değerini Y ile göstereceğiz. Yalın bir önermenin doğruluk değerini kolayca belirleriz. Bileşik bir önermenin doğruluk değeri ise, söz konusu bileşik önermeyi oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarına bağlı olarak tanımlanır. Bir önermenin doğruluk değeri seçeneklere bağlı olarak bir çizelge ile gösterilebilir. Böyle bir çizelgeye, o önermenin doğruluk çizelgesi adı verilir. Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin belirlenmesinde sıkça başvuracağımız doğruluk çizelgeleri önerme işlemleri için de yararlı bir araç olacaktır.

LOTO

2009-07-09T05:48:00.000-07:00

İki Matematikçi, aralarında mesleklerinin ne kadar önemli olduğunu konusuyorlar. Sonra içlerinden biri diğerine dert yaniyor:
"Ah azizim ah! Matematiğe yeterince önem verilmiyor. Aslında konuya devlet el atmalı ve Matematik bilmeyenlerden vergi toplanmalı.

Diğeri cevap veriyor:
"Sayısal Loto da bu işe yarıyor zaten"

e üzeri x

2009-07-09T05:47:00.001-07:00

Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuş, sıfıra ne kadar hızla yakınsadıkları gibi konular üzerinde tartışıyorlarmış. Derken içlerinden biri kapıya bakarak aniden bağırmış "Dikkat türev geliyor!". Hepsi apar topar sandalyelerinin altına saklanmışlar, ancak e üzeri x hiç istifini bozmamış. Türev ağır adımlarla içeri girmiş ve tek başına oturan fonksiyonu görüp "sen benden korkmuyor musun?" demiş. Hayır, ben e üzeri x im diye yanıtlamış kendine güvenen bir tavırla. "Yaa" demiş türev. "Peki benim x e göre türev alacağımı kim söyledi?"

Deney

2009-07-09T05:45:00.000-07:00

Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir kimyacıyı bir ay süreliğine ayrı ayrı odalara kapatmışlar. Odalarda kilitli bir buzdolabı ve çeşitli araç gereç varmış. Bir ay sonunda odaların kapılarını açıp bakmışlar. Fizikçi mekanik bir makine yaparak buzdolabının kapısını kırmış ve karnını doyurmuş. Kimyacı çeşitli elementleri karıştırarak bir sıvı yapıp buzdolabının kapısını eritmiş. Son olarak matematikçinin odasına girmişler. Matematikçinin kurumuş cesedi duvara dayanmış bir halde yerde kanla şunlar yazar;

Teorem: Buzdolabını açamazsam öleceğim
İspat: Farz edelim ki ben öldüm...

İskoçya Koyunları

2009-07-09T05:43:00.000-07:00

Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi İskoçya da trenin penceresinden bakarken siyah bir koyun görürler, mühendis hemen atılır;İskoçya’daki bütün koyunlar siyah der.Fizikçi söze karışır İskoçya’daki bazı koyunlar siyah diyerek.Ve matematikçi son noktayı koyar İskoçya’da en az bir tarafı siyah olan en az bir tane koyun vardır.

Üç Kişi

2009-07-09T05:42:00.001-07:00

Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir biyolog bir kafeye oturmuş karşıdaki eve bakarlarken eve iki kişi girdiğini görürler. Bir müddet sonra evden üç kişi çıktığını gördüklerinde olayı şu şekilde yorumlarlar:

Fizikçi:Gözlem hatası yaptım.
Biyolog:İçerde ürediler.
Matematikçi: Eve bir kişi daha girerse içerde hiç kimse kalmayacak

Garson ve İntegral

2009-07-09T05:39:00.000-07:00

İki erkek matematikçi bir bara gider. Birincisi ikincisine ortalama bir kişinin
matematik hakkında çok az şey bildiğini söyler.İkincisi buna katılmaz ve bir çok insanın yeterli miktarda matematikle başa çıkabileceğini iddia eder.

Birinci matematikçi tuvalete gider. Onun yokluğunda ikinci matematikçi garson
kızı çağırır. Ona bir kaç dakika sonra arkadaşı döndügünde kendisini tekrar
çağıracağını ve bir soru soracağını söyler.

Bütün yapacağı "iks küp bölü üç" diye yanıt vermektir.

Kız tekrarlar: "eks küp..." ne?

Matematikçi düzeltir "iks küp bölü üç"

Kız: "Eks küp bölü üç?"

Evet der matematikçi.

Kız tamam deyip, kendi kendine mırıldanarak uzaklaşır,
-"iks küp bölü üç, iks küp..."

Birinci matematikçi döner ve ikincisi kendi görüşünün doğruluğunu kanıtlamak
için iddiaya girmelerini teklif eder.

Sarışın garson kıza bir integral soracağını söyler, birincisi gülerek kabul eder.

İkinci adam garson kızı çağırır ve sorar:

- "x karenin integrali nedir?"

Garson kız yanıtlar:

-`x küp bölü üç',

uzaklaşırken de ekler:

- "artı c"!

Matematik Finali

2009-07-09T05:38:00.000-07:00

4 tane üniversite öğrencisi, uyanamadıkları için matematik finaline geç kalırlar ve okula gidince hocaya arabalarının lastiğininpatladığını söylerler...

Hoca ilk basta inanmaz ama öğrencilerinin yalvarmalarına dayanamayarak, onları 3 gün sonra sınav yapacağını söyler.Sınav günü gelince hoca, 4 öğrencinin hepsini bos bir salonun ayrı ayrıköşelerine oturtur.Sınav geçme sistemi şöyledir:
100 üzerinden 50 puan alan herkessınavı geçebilir... Hocanın hazırladığı sınavda ise ön sayfada 10'arpuanlık 4 tane basit matematik sorusu vardır... Bunları kolayca çözerler.
Arka sayfada ise 60 puanlık 1 soru vardır:"Hangi lastik patladı?"

Matematikle İlgili Karikatürler 2

2009-07-09T05:25:00.000-07:00

Matematikle İlgili Karikatürler 1

2009-07-09T05:15:00.001-07:00

Çok komik olmasalar da idare edin artık.

BİRUNİ (4 Eylül 973 - 13 Aralık 1048)

2009-07-09T05:08:00.000-07:00

Biruni (4 Eylül 973 - 1061? [1]), Fars [2][3][4]i kökenli İslam bilgini. Tam adı Ebu Reyhan Muhammed bin Ahmed el-Birûnî (Arapça: ابو الريحان محمد بن احمد البيروني) dir. Batı dillerinde adı Alberuni veya Aliboron olarak geçer. Gökbilim, matematik, doğa bilimleri, coğrafya ve tarih alanındaki çalışmalarıyla tanınır.

Biruni tam adı Abu'l-Reyhan Muhammed Bin Ahmet El-Biruni El-Harizmi, sadece Türk ve İslam dünyasının değil, dünyanın en büyük bilim adamlarından biri sayılmaktadır. 15 Eylül 973 tarihinde Ceyhun nehri kıyısındaki Hive kasabasında doğmuştur. 1048 yılında Gazne'de ölmüştür. Biruni hastalıkları tedavi konusunda değerli bir uzmandı. Yunan ve Hint tıbbını incelemiş, Sultan Mesud'un gözünü tedavi etmişti. Otların hangisinin hangi derde deva ve şifa olduğunu çok iyi bilirdi. Eczacılıkla doktorluğun sınırlarını çizmiş, ilaçların yan etkilerinden bahsetmiştir.

Biruni, Cebir, Geometri ve Coğrafya konularında bile o konuyla ilgili bir ayet zikretmiş, ayette bahsi geçen konunun yorumlarını yapmış, ilimle dini birleştirmiş, fenni ilimlerle ilahi bilgilere daha iyi nüfuz edileceğini söylemiş, ilim öğrenmekten kastın hakkı ve hakikatı bulmak olduğunu dile getirmiş ve "Anlattıklarım arasında gerçek dışı olanlar varsa Allah'a tevbe ederim. Razı olacağı şeylere sarılmak hususunda Allah'tan yardım dilerim. Batıl Şeylerden korunmak için de Allah'tan hidayet isterim. İyilik O'nun elindedir!" demiştir.

Hayatı:
Yaşadığı çağa damgasını vurup "Biruni Asrı" denmesine sebep olan zeka harikası bilgin 973 yılında Harizm'in merkezi Kas'ta doğdu. Esas adı Ebu Reyhan b. Muhammed'dir. Küçük yaşta babasını kaybetti. Annesi onu zor şartlarda, odunsatarak büyüttü. Daha çocuk yaşta araştırmacı bir ruha sahipti. Birçok kOnuyu öğrenmek için çılgınca hırs gösteriyordu. Tahsil çağına girdiğinde Harizmşahların himayesine alındı ve saray terbiyesiyle yetişmesine özen gösterildi. Bu aileden bilhassa Mansur, Biruni'nin en iyi bir eğitim alması için her imkanı sağladı.

Bu arada İbni Irak ve Abdüssamed b. Hakim'den de dersler alan bilginimizin öğrenimi uzun sürmedi, daha çok özel çabalarıyla kendisini yetiştirdi. Araştırmacı ruhu, öğrenme hırsı ve sönmeyen azmiyle birleşince 17 yaşında eser vermeye başladı. Fakat Me'munilerin Kas'ı alıp Harizmşahları tarihten silmeleriyle Biruni'nin huzuru kaçtı, sıkıntılar başladı ve Kas'ı terketmek zorunda kaldı. Ancak iki yıl sonra tekrar döndüğünde ünlü bilgin Ebü'lVefa ile buluşup rasat çalışmaları yaptı.

Daha sonra hükümdar Ebü'lAbbas, sarayında Biruni'ye bir daire tahsisedip, müşavir ve vezir olarak görevlendirdi. Bu durum, hükümdarların ilme duydukları derin saygının göstergesi, bilginimizin de devlet başkanları yanındaki yüksek itibarının belgesiydi.

Gazneli Mahmud Hindistan'ı alınca hocalarıyla Biruni'yi de oraya götürdü. Zira onun yanında da itibarı çok yüksekti. "Biruni, sarayımızın en değerli hazinesidir'derdi. Bu yüzden tedbirli hünkar, liyakatını bildiği Biruni'yi Hazine Genel Müdürlüğü'ne tayin etti. O da orada Hint dil ve kültürünü bütünüyle inceledi. Üstün dehasıyla kısa sürede Hintli bilginler üzerinde şaşkınlık ve hayranlık uyandırdı. Kendisine sağlanan siyasi ve ilmi araştırmalarına devam etti. Bir devre adını veren, çağını aşan ilmi hayatının zirvesine erişti. Sultan Mes'ud, kendisine ithaf ettiği Kanunu Mes'udi adlı eseri için Biruni'ye bir fil yükü gümüş para vermişse de o, bu hediyeyi almadı.

Son eseri olan Kitabü'sSaydele fi't Tıb'bı yazdığında 80 yaşını geçmişti. Üstad diye saygıyla yad edilen yalnız İslam aleminin değil, tüm dünyada çağının en büyük bilgini olan Biruni, 1051 yılında Gazne'de hayata gözlerini yumdu.
Kişiliği
Biruni, "Elinden kalem düşmeyen, gözü kitaptan ayrılmayan, iman dolu kalbi tefekkürden dur olmayan, benzeri her asırda görülmeyen bilginler bilgini bir dahiydi. Arapça, Farsça, Ibranice, Rumca, Süryanice, Yunanca ve Çinçe gibi daha birçok lisan biliyordu. Matematik, Astronomi, Geometri, Fizik, Kimya, Tıp, Eczacılık, Tarih, Coğrafya, Filoloji, Etnoloji, Jeoloji, Dinler ve Mezhepler Tarihi gibi 30 kadar ilim dalında çalışmalar yaptı, eserler verdi.

Onun tabiat ilimleriyle yakından ilgilenmesi, Allah'ın kevni ayetlerini anlamak, kainatın yapı ve düzeninden Allah'a ulaşmak, Onu yüceltmek gayesine yönelikti. Eserlerinde çok defa Kur an ayetlerine başvurur, onların çeşitli ilimler açısından yorumlanmasını amaçlardı. Kuran'ın belağat ve i'cazına olan hayranlığını her vesileyle dile getirdi. İlmi kaynaklara dayanma, deney ve tecrübeyle ispat etme şartını ilk defa o ileri sürdü.

İbni Sina'yla yaptığı karşılıklı yazışmalarındaki ilmi metod ve yorumları, günümüzde yazılmış gibi tazeliğini halen korumaktadır. Tahkik ve Kanunı Mes'udi adlı eserleriyle trigonometri konusunda bugünkü ilmi seviyeye ta o günden, ulaştıgı açıkça görülür. Bu eser astronomi alanında zengin ve ciddi bir araştırma abidesi olarak tarihe mal olmuştur. İlmiyle dine hizmetten mutluluk duymaktadır.

Gazne'de kıbleyi tam olarak tespit etmesi ve kıblenin tayini için geliştirdiği matematik yöntemi dolayısıyla kıyamet günü Rabb'inden sevap ummaktadır. Ayın, güneşin ve dünyanın hareketleri, güneş tutulması anında ulaşan hadiseler üzerine verdiği bilgi ve yaptığı rasatlarda, çağdaş tespitlere uygun neticeler elde etti. Bu çalışmalarıyla yer ölçüsü ilminin temellerini sekiz asır önce attı. Israrlı çabaları sonunda yerin çapını ölçmeyi başardı. Dünyanın çapının ölçülmesiyle ilgili görüşü, günümüz matematik ölçülerine tıpatıp uymaktadır. Avrupa'da buna BÎRÛNI KURALI denmektedir.

Newton ve Fransız Piscard yaptıkları hesaplama sonucu ekvatoru 25.000 mil olarak bulmuşlardır. Halbuki bu ölçüyü Biruni, onlardan tam 700 yıl önce Pakistan'da bulmuştu. O çağda Batılılardan ne kadar da ilerideymişiz.

Biruni, hastalıkları tedavi konusunda değerli bir uzmandı. Yunan ve Hint tıbbını incelemiş, Sultan Mes'ud'un gözünü tedavi etmişti. Otların hangisinin hangi derde deva ve şifa olduğunu çok iyi bilirdi. Eczacılıkla doktorluğun sınırlarını çizmiş, ilaçların yan etkilerinden bahsetmiştir.

Daha o çağda Ümit Burnu'nun varlığından söz etmiş, Kuzey Asya ve Kuzey Avrupa'dan geniş bilgiler vermişti. Christof Coloumb'dan beş asır önce Amerika kıtasından, Japonya'nın varlığından ilk defa sözeden O'dur.

Dünyanın yuvarlak ve dönmekte olduğunu, yerçekimin varlığını Newton'dan asırlarca önce ortaya koydu. Henüz çağımızda sözü edilebilen karaların kuzeye doğru kayma fikrini 9.5 asır önce dile getirdi.

Botanikle ilgilendi, geometriyi botaniğe uyguladı. Bitki ve hayvanlarda üreme konularına eğildi. Kuşlarla ilgili çok orjinal tespitler yaptı. Tarihle ilgilendi. Gazneli Mahmud, Sebüktekin ve Harzem'in tarihlerini yazdı. Biruni, ayrıca dinler tarihi konusuna eğildi, ona birçok yenilik getirdi. Çağından dokuz asır sonra ancak ayrı bir ilim haline gelebilen Mukayeseli Dinler Tarihi, kurucusu sayılan Biruni'ye çok şey borçludur.

Biruni, felsefeyle de ilgilendi. Ama felsefenin dumanlı havasında boğulup kalmadı. Meseleleri doğrudan Allah'a dayandırdı. Tabiat olaylarından sözederken, onlardaki hikmetin sahibini gösterdi. Eşyaya ve cisimlere takılıp kalmadı.

Biruni, Cebir, Geometri ve Cografya konularında bile o konuyla ilgili bir ayet zikretmiş, ayette bahsi geçen konunun yorumlarını yapmış, ilimle dini birleştirmiş, fenni ilimlerle ilahi bilgilere daha iyi nüfuz edileceğini söylemiş, ilim öğrenmekten kastın hakkı ve hakikatı bulmak olduğunu dile getirmiş ve "Anlattıklarım arasında gerçek dışı olanlar varsa Allah'a tövbe ederim. Razı olacağı şeylere sarılmak hususunda Allah'tan yardım dilerim. Batıl şeylerden korunmak için de Allah'tan hidayet isterim. İyilik O'nun elindedir!" demiştir.

Eserleri halen Batı bilim dünyasında kaynak eser olarak kullanılmaktadır. Türk Tarih Kurumu 68. sayısını Biruni'ye Armağan adıyla bilginimize tahsis etti. Dünyanın çeşitli ülkelerinde Biruni'yi anmak için sempozyumlar, kongreler düzenlendi, pullar bastırıldı. UNESCO'nun 25 dilde çıkardığı Conrier Dergisi 1974 Haziran sayısını Biruni'ye ayırdı. Kapak fotoğrafının altına, "1000 yıl önce Orta Asya'da yaşayan evrensel deha Biruni; Astronom, Tarihçi, Botanikçi, Eczacılık uzmanı Jeolog, Şair, Mütefekkir, Matematikçi, Coğrafyacı ve Hümanist" diye yazılarak tanıtıldı.
Eserleri
Biruni, toplam 180 kadar eser kaleme aldı. En meşhurları şunlardır:

1. EIAsar'il Bakiye an'il Kuruni'I Haliye: (Boş geçen asırlardan kalan eserler.) 2. EI Kanun'ül Mes'udi; En büyük eseridir. Astronomiden coğrafyaya kadar birçok konuda yenilik, keşif ve buluşları içine alır. 3. Kitab'üt Tahkik Mali'I Hind: Hind Tarihi, dini, ilmi ve coğrafyası hakkında geniş bilgi verir. 4. Tahdid'ü Nihayeti'l Emakinli Tashihi Mesafet'il Mesakin: Meskenler arasındaki mesafeyi düzeltmek için mekanların sonunu sınırlama. Bu eseriyle Biruni, yepyeni bir ilim dalı olan Jeodezi'nin temelini atmış, ilk harcını koymuştu. 5. Kitabü'I Cemahirfi Ma'rifeti Cevahir: Cevherlerin bilinmesine dair kitap. 6. Kitabü't Tefhimfi Evaili Sıbaati't Tencim: Yıldızlar İlmine Giriş. 7: Kitabü's Saydelefi Tıp: Eczacılık Kitabı. İlaçların, şifalı otların adlarını altı dildeki karşılıklarıyla yazmış.

Hüseyin Tevfik Paşa (1832-1901)

2009-07-09T04:46:00.000-07:00

Vidin’de doğmuş, genç yaşta İstanbul’a gelmiş ve Askerî Okul’da okumuştur. Burada, matematik derslerindeki yeteneğiyle Cambridge Üniversitesi’nden mezun olmuş olan matematik hocası Tahir Paşa’nın dikkatini çekmiş ve Tahir Paşa kendisine özel dersler vermiştir. Tahsilini bitirdikten sonra Harbiye’ye cebir hocası olarak atanmış, Tahir Paşa ölünce onun matematik dersleri de Hüseyin Tevfik Paşa’ya kalmıştır.Harbiye’deki hocalığı devam ederken, Tophâne Tecrübe ve Muayene Komisyonu’na da getirilmiştir. 1868′de Paris’teki Mekteb-î Osmanî’ye müdür muavini olarak gönderilmiş ve aynı zamanda balistik ve tüfek imalatı üzerine incelemelerde bulunmakla görevlendirilmiştir. Bu arada matematik bilgisini geliştirmek için üniversiteye de devam etmiş ve Paris’te kaldığı iki yıl boyunca bazı makaleler yayımlamış ve bilimsel toplantılara katılmıştır.
Hüseyin Tevfik Paşa, 1872′de Amerika’daki bazı silah fabrikalarına ısmarlanan tüfeklerin imalatını ve şartnâmeye uyulup uyulmadığını kontrol etme göreviyle Amerika’ya gönderilmiştir. 1878 yılına kadar Amerika’da kalmış ve bu süre içinde matematikle uğraşmıştır; Lineer Cebir adlı İngilizce kitabını bu sırada yazmış ve Argand’ın kompleks sayılarla ilgili teorisinde ileri sürdüğü çarpımı üç boyutlu uzaya uygulamanın bir yolunu bulmuştur.
Eserinin önsözünde şöyle söylemektedir: “Bu kitapta incelenen lineer cebir, dünyanın Sir William Hamilton’a borçlu olduğu quaterniyonlara çok benzer. Lineer cebir, quaterniyonların bütün potansiyellerine sahiptir ve güçlüğü daha azdır. Quaterniyonlar üniversitelerde öğretilmektedir ve kabul görmüş bir bilgidir. Lineer cebirin de aynı kabülü görüp görmeyeceğini, hattâ quaterniyonların yerini alıp almayacağını şimdiden bilmiyorum”.
Kendi sisteminin üstünlüğünü ise şöyle ifade etmiştir:
“Quaterniyonların çarpımı, isim olarak bile düzlem geometride ele alındığında, bizi üç boyutlu uzayda çalışmaya zorlamaktadır; halbuki lineer cebirde yalnızca iki boyut ele alındığı zaman bir üçüncü boyutu düşünme durumunda değiliz”.
Hüseyin Tevfik Paşa’nın bu eseri tercüme değildir ve konuya özgün katkı yapması açısından çok önemlidir.
Tevfik Paşa’nın başka pek çok görevleri olmuş, Fransa ve Amerika’da kaldığı sıralarda Fransızca ve İngilizce’yi, bu dillerde kitap yazabilecek kadar iyi öğrenmiştir. Gazi Ahmed Muhtar Paşa ve Yusuf Ziya Paşa ile birlikte Cemiyet-i Tedrisiyye-i İslâmiye’nin ve Dârüşşafaka’nın kurucularındandır. Burada matematik dersleri vermiş, yine bu sıralarda arkadaşlarıyla çıkarttığı Mebâhis-i İlmiyye adlı aylık dergiye makaleler yazmıştır. Bu dergide yayımladığı makaleleri arasında “Mahsûsât ve Gayr-ı Mahsûsât” isimli felsefî bir yazısı, ayrıca türev ve fonksiyonlar üzerine yazıları bulunur.
Hüseyin Tevfik Paşa, daima devlet memuriyetiyle görevli olmasına rağmen, matematik bilimlerle ilgilenmeye zaman ayırabilmiş, zengin bir kütüphane oluşturmuş, çevresindeki Sâlih Zekî gibi yetenekli gençlere, vakit ayırmış, periyodik yayınlarla entellektüel bir ortamın oluşmasına gayret sarf etmiştir.

Hüseyin Tevfik Paşa’nın Eserleri
1- Zeyl-i usul-i Cebir
2- Cebr-i Âlâ
3- Fenn-i Makina
4- Mebahis-i İlmiye Mecuasmda yazdığı makaleler (Hesab-ı Müsenna = Dual Aritmetique)
5- Tahir Paşa’nın Usul-i Cebir adlı eserine yazdığı ek türevler,Taylor ve Mc’Lauren bahisleri içerir.
6- Usul-i llm-i Hesap
7- Astronomi
8- Mahsusat ve Gayrı Mahsusat (Felsefeye ait bir eserdir).
9- Linear Algebra

Selman AKBULUT (1949- ? )

2009-07-09T04:40:00.000-07:00

Prof. Dr. Selman Akbulut, 1971 yılında California Üniversitesi (Berkeley) Matematik Bölümü'nden mezun olmuştur. Prof. Dr. Akbulut, 1975 yılında aynı üniversitede doktora eğitimini tamamlayarak, 1976 yılında Wisconsin Üniversitesi'nde yardımcı doçent olarak göreve başlamıştır.

1978 - 1980 yılları arasında Rutgens Üniversitesi'nde, 1980 - 1981 yıllarında Michigan State Üniversitesi'nde Yardımcı Doçent; 1983 - 1986 yılları arasında aynı üniversitede Doçent olarak çalışmalarda bulunan Prof. Dr. Akbulut 1986 yılında profesörlüğe yükselmiştir ve halen Michigan State Üniversitesi'nde görev yapmaktadır.
Prof. Dr. Akbulut, 1975 - 1976, 1980 - 1981 yıllarında Advanced Study Institute'da, 1982 - 1983 yıllarında Max - Planck Enstitüsü ve 1984 - 1985 yıllarında California Üniversitesi, Mathematical Sciences Research Institute'de çalışmalarda bulunmuştur.
Prof. Dr. Akbulut, Türk Matematik Derneği, Amerikan Matematik Derneği ve Doğa - Türk Matematik Dergisi Editörler Kurulu'na üyedir.
Prof. Dr. Selman Akbulut'un Uluslararası Science Citation Index'ce taranan hakemli dergilerde çıkmış 29 yayını vardır ve bu yayınlara 1991 yılı sonu itibariyle 239 atıf yapılmıştır.

Matematik Terimleri Sözlüğü

2009-07-09T04:38:00.000-07:00

Açı : Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.
Ağırlık merkezi : Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Kesim noktasına ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezi G ile gösterilir.
Alt Küme : A ve B iki küme olmak üzere A nın her elamanı B nin de elemanı oluyorsa A ya B nin alt kümesi denir. B ye de A nın kapsayan kümesi denir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.
Alt küme sayısı : Kümenin eleman sayısını n ile gösterirsek alt küme sayısı = 2n dir. Boş kümenin aşt küme sayısı 1 dir.
Asal sayılar : 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük tam sayılara asal sayılar denir. {2,3,5,7,11,…} kümesinin elemanları birer asal sayıdır. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
Aralarında asal sayılar : 1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayma sayılarına aralarında asal sayılar denir. Örnek : 4 ile 9 aralarında asaldır. 7 ile 11 aralarında asaldır.
Ardışık sayılar : Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.
Aritmetik ortalama : Verilen sayı dizisindeki terimlerin toplamının, terim sayısına bölünmesiyle elde edilen değerdir. Örnek : -3, 7, 17, 23 sayılarının aritmetik ortalaması = (-3+7+17+23)/4= 11
Asal Çarpanlara Ayırma : Bir sayının en küçük asal sayıdan başlamak üzere sıra ile bölünüp 1 kalıncaya kadar devam eden bölme işlemine asal çarpanlara ayırma denir.
Ayrık küme : Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.
Basamak : Bir sayıda rakamların yazıldığı yerlere denir.
Basamak değeri : Rakamların, sayıda bulunduğu basamağa göre gösterdiği değerlere denir. Örnek : 1048 sayısındaki 4 rakamının basamak değeri 40’tır.
Basit kesir : Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesre basit kesir denir. Örnek : 2/-5, -7/9
Bileşik kesir : Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesre bileşik kesir denir. Örnek : -15, 9/-4, -9/5
R ve aBirinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler : a, b 0 olmak üzere; ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu eşitlikteki x e bilinmeyen a ve b ye de katsayı adı verilir.
Birleşim : A ve B kümelerinin elemanlarından oluşan kümeye A ile B ile gösterilir.B nin birleşim kümesi denir ve A
Boş küme : Elemanı vey {} ile gösterilir.olmayan kümeye boş küme denir.
Bütünler açılar : olan komşu açılara bütünler açılarÖlçüleri toplamı 180 denir.
Çap : Merkezden geçen kirişe çap denir. En büyük kiriş çaptır.
Çember : Bir düzlemde, sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların kümesine çember denir.
Çeşitkenar üçgen : Kenarları farklı uzunlukta olan üçgenlerdir.
Çift sayı : n bir tam sayı olmak şartıyla; 2n genel ifadesiyle belirtilen tam sayılardır. Diğer bir ifade ile 2 ile bölündüğünde kalanı 0 olan tam sayılara çift sayı denir. 3Çift sayılar kümesi : Ç={….,-4,-2,0,2,4,…} şeklinde gösterilir.
Çokgen : Herhangi üçü bir doğru üzerinde bulunmayan noktaların birleştirilmesiyle oluşturulan kapalı şekillere çokgen denir. Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılır. Örnek : 4 kenarlı bir çokgene dörtgen, 6 kenarlı bir çokgene altıgen denir.
Çözümleme : Bir sayı, kendi basamağındaki rakamın basamak değeri ile çarpılıp toplanması ile bulunur. Örnek : a,b,c birer rakam olmak üzere, ab=10a+b {ab iki basamaklı sayı} veya abc=100a+10b+c {abc üç basamaklı bir sayı}
Daire : Çember ile, çemberin iç bölgesinin birleşimine daire denir.
Dairenin alanı : Yarıçapın karesinin Pi sayısı ile çarpımına eşittir.
Dairenin çevresi : Pi sayısının (yaklaşık 3,14) iki katının yarıçap ile çarpımına eşittir.
Dar açılı üçgen : Üç açısı da dar açı olan üçgene denir.
Deltoid : Bitişik iki kenarı birbirine eş, diğer bitişik iki kenarı da birbirine eş olan dörtgene denir.
Dik açı : Ölçüsü olan açıdır.90
Dikdörtgen : Bir açısı dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir. Karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir. Alanı uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşittir.
Dik üçgen : Bir açısı dik açı olan üçgene denir.
Dik Yamuk : Yan tabanlarından biri tabana dik olan yamuğa denir.
Doğal Sayılar : N ={0, 1, 2, 3, ….} kümesine doğal sayılar kümesi denir.
Doğru : İki yönde sınırsız olarak uzayan noktalar kümesidir. Yalnız boyu vardır. Eni ve yüksekliği yoktur. Başlangıcı ve bitiş noktası yoktur.
Doğru açı : Ölçüsü 180 açıdır. Düz açıda denir.
Doğru orantı : Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri de artıyor, bir azalırken diğeri de azalıyorsa bu iki ifade doğru orantılıdır.
Denk Kümeler : Eleman sayıları aynı olan kümelere B biçiminde gösterilir.denk kümeler denir. A kümesinin B kümesine denkliği A Eşit kümeler aynı zamanda denk kümelerdir. Denk kümeler, eşit kümeler olmayabilir.
Doğru parçası : Bir doğru üzerindeki A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktaların kümesine doğru parçası denir.
Düzgün çokgen : Bütün kenarları ve açıları eş olan çokgenlere düzgün çokgenler denir.
Düzgün piramit : Tabanı düzgün çokgen ve yüksekliği taban merkezinden geçen piramitlere düzgün piramit denir.
Eşit kümeler : Bütün elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. A kümesinin B kümesine eşitliği A = B biçiminde gösterilir. Eşit kümeler aynı zamanda denk kümelerdir. Denk kümeler, eşit kümeler olmayabilir.
Eşkenar dörtgen : Kenarlarının uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Karşılıklı kenarları paraleldir. Dört kenarının uzunlukları eşittir. Karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Ardışık dir. Köşegenler birbirine diktir. Köşegenleriki açının ölçüleri toplamı 180 birbirini ortalar.
Eşkenar üçgen : Üç kenarının uzunlukları eşit olan üçgene denir. İç açılarının her birinin ölçüsü 60 dir.
N+ olmak üzere 1 den n ye kadar doğalFaktöriyel : n sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! İle gösterilir. Örnek : 5!=5.4.3.2.1
Geniş açılı üçgen : Bir açısı geniş açı olan üçgene denir.
Grafik : İstatistik çalışmalarında elde edilen bilgiler, ilk bakışta anlaşılabilmesi için, resim, şekil veya çizgilerle gösterilir. Bu şekillere grafik denir.
Işın : Bir başlangıç noktası olup diğer taraftan sonsuza giden noktaların kümesine ışın denir. Eğer başlangıç noktası kümeye dahil değilse, buna yarı doğru adı verilir.
[AB AB ışını
]AB veya (AB AB yarı doğrusu
İki kümenin farkı : A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A nın elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. Fark kümesi A – B veya A\B ile gösterilir.
İkizkenar üçgen : İki kenarının uzunluğu eşit olan üçgenlere denir. Taban açıları eşittir. Tepe noktasından çizilen yükseklik; hem kenarortay, hem açıortaydır.
İkizkenar Yamuk : Paralel olmayan iki kenarı eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. Karşılıklı açılar toplamı 180 dir.
İrrasyonel Sayılar : Rasyonel olmayan reel sayılara veya virgülden sonrası kesin olarak bilinmeyen sayılara denir. Qı ile gösterilir.
Kare : Kenarları ve açıları eşit olan dörtgene olan eşkenar dörtgendir. Karşılıklı kenarlarıdenir. Bir açısının ölçüsü 90 paraleldir. Dört kenarının uzunlukları eşittir. Açıları birbirine eşit ve 90 ar derecedir. Alanı iki kenar uzunluğunun çarpınma eşittir.
Kenarortay : Bir üçgenin bir kenarının orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
Kesen : Çemberi iki noktada kesen doğruya denir.
Kesişim : A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A B ile gösterilir.ile B nin kesişim kümesi denir ve A
Kiriş : Bir çemberin üzerinde alınan iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir.
Küme : İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeyi sembolü ile gösterilir.oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir ve sembolü ile gösterilir. Bir kümeninKümenin elemanı olmayan nesneler elemanlarının küme içinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Kümede her eleman bir kez yazılır.
Küp : Tüm yüzleri kare olan dik prizmaya küp denir.
Komşu açılar : Köşeleri ve birer kenarları ortak olan iki açıya komşu açı denir.
Medyan : Verilen bir sayı dizisinde terimler büyüklük sırasına göre yazıldıktan sonra ortadaki sayıya medyan denir. Dizinin terim sayısı tek ise tam ortasındaki sayı medyandır. Terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortası medyandır. Örnek : 6,8,10,11,12,14,16,17,18,20 sayı dizisinin medyanı ortadaki 12 ve 14 sayılarının toplamının 2 ye bölünmesi ile bulunur. Medyan =12+14/2=13
Merkez açı : Köşesi çemberin merkezinde olan açıya çemberin merkez açısı denir.
Mod : Bir dizide en çok tekrar eden sayıya o dizinin modu denir. En çok tekrarlanan sayı birden fazla ise, bu sayıların her biri dizinin modu olur.
Mutlak değer : Bir reel sayının eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına x in mutlak değeri denir. X in mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.
negatif Tam Sayılar : Z = {…, -3, -2, -1} kümesine negatif tam sayılar kümesi denir.
Nokta : Boyutsuzdur. Tanımsızdır. İzdir. Belirtidir.
Ondalık kesirler : Paydası 10 un kuvvetleri olan (10, 100, 1000, …) kesirlere ondalık kesirler denir. Örnek : 17,615
Oran : a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak şartıyla a / b ye, a nın b ye oranı denir.
Özalt küme : Bir kümenin, kendisi dışındaki bütün alt kümelerine, bu kümenin özalt kümeleri denir.
Özalt küme sayısı : Kümenin eleman sayısını n ile gösterirsek, özalt küme sayısı = 2n - 1 dir. Boş kümenin özalt kümesi yoktur.
Paralel kenar : Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Yamuğun bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşittir. Karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Ardışık iki açının dir. Köşegenler birbirini ortalar. Paralel kenarın alanıölçüleri toplamı 180 bir kenarı ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
Permütasyon : Bir küme elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine “bir permütasyon” denir.
Pisagor bağıntısı : Bir dik üçgende dik kenarlarının kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
Pozitif Doğal Sayılar : Bakınız: Sayma sayıları.
Pozitif Tam Sayılar : Z = {1, 2, 3, ….} kümesine pozitif tam sayılar kümesi denir.
Rakam : Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir.
Rasyonel Sayılar : a, b birer tam sayı ve b≠ 0 olmak üzere; a / b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
Reel ( Gerçel) Sayılar : Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye denir. Qı şeklinde ifadeReel sayılar kümesi : R = Q edilebilir.
Sapma : Bir dizinin terimlerinin her biri ile aritmetik ortalama arasındaki farka sapma denir. Fark negatif ise negatif sapma, fark pozitif ise pozitif sapma olur.
Sayı : Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadelere denir.
Sayı değeri : Sayıda, rakamların bulunduğu basamak düşünülmeden, her rakamın ifade ettiği sayıya o rakamın sayı değeri denir. Örnek : 1048 sayısındaki 4 rakamının sayı değeri 4’tür.
Sayma Sayıları : N+ = {1,2,3,4, …} kümesine sayma sayıları kümesi veya pozitif doğal sayılar kümesi denir.
Tam açı : Ölçüsü 360 açıdır.
Tam Sayılar : Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….} kümesine tam sayılar kümesi denir.
Tam sayılı kesir : Sıfır hariç bir tam sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesir sayılarına tam sayılı kesir denir. Örnek : -3. 1/5, 5. 8/15
Teğet : Çemberle bir noktası ortak olan doğrulara teğet denir. Bir çemberde teğet, değme noktasından geçen yarıçapa diktir.
Tek sayı : 2n – 1 genel ifadesiyle belirtilen tam sayılardır. Diğer bir ifade ile 2 ile bölündüğünde kalanı 1 olan tam sayılara tek sayı denir. Tek sayılar kümesi : T = {…,-5,-3,-1,1,3,5,…} şeklinde gösterilir.
Ters açılar : Kesişen iki doğrunun oluşturduğu dört açıdan herhangi ikisine birbirine komşu olmayan açılar (ters açılar) denir. Ters açılar dir.birbirine eşittir. Komşu iki ter açının toplamı 180
Ters orantı : Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri azalıyor, biri azalırken diğeri artıyorsa bu iki ifade ters orantılıdır.
Tümler açılar : Ölçüleri toplamı olan komşu açılara tümler açılar90 denir.
Üçgen : A, B, C ; üçü birden doğrusal olmayan üç farklı nokta olmak üzere, [AB], [AC] ve [BC] doğru parçalarının birleşimine ABC üçgeni denir.
Üçgenin alanı : Herhangi bir üçgenin alanı, tabanı olarak alınan bir kenarın uzunluğu ile bu tabana ait yükseklik uzunluğu çarpımının yarısına eşittir.
Üs : a bir reel sayı, n bir pozitif tam sayı olmak üzere; n tane a sayısının çarpımı an dir. an ifadesindeki a ya taban, n ye kuvvet (üs) denir.
Vektör : Doğrultuları, yönleri ve boyları aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesine, düzlemde bir vektör denir.
Yamuk : Yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel kenarlarla bir yan kenarın oluşturduğu iki açının toplamı 180 dir.
Yarı doğru : Bakınız : Işın.
(FORUMEX.NET)den alınmıştır. Öğrencilerin fadalanmaları için.

Selami ALKAN (SND) Safranbolu / 2007

MATEMATİK TERİMLER SÖZLÜĞÜ (2)

A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir…
A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından olu-şan kümedir…
A Kümesinden B ye Fonksiyon: A nın elemanlarından herbirini, B nin elemanlarına bir ve yalnız bir kez eşleyen bağıntıdır…
Açı: Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesidir…
Açık Önerme: İçinde bulunan bilinmeyene verilen değerlere göre doğru ya da yanlış önerme olan ifadelerdir…
Açıortay: Başlangıç noktası açının köşesi olan ve açının kenarlarıyla eş açılar oluşturan ı-şındır…
Açısal Bölge: Açı ile açının iç bölgesinin birleşim kümesidir…
Aksiyom: Doğru olduğu ispatsız kabul edilen matematiksel ifadedir…
Alan: Bir yüzey parçasının ölçüsüdür… Bir yüzeyde birim yüzeyin kaç defa olduğunu göste-ren sayıdır…
Alt Küme: Bir kümenin elemanlarının sayısına göre birerli, ikişerli ya da daha fazla sayıda
gruplarla oluşturduğu kümedir… Boş küme her kümenin alt kümesidir…
Analitik Düzlem: Üzerine koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlemdir…
Analitik Geometri: Noktaların koordinatlarının sayısal fonksiyonları aracılığıyla bir koordi-nat sisteminde gösterilen geometrik nesneleri inceleyen matematik koludur…
Apsis: Koordinat düzleminde bir noktayı gösteren sıralı ikilinin birinci terimidir… (1,9) ikilisiyle gsterilen noktanın apsisi 1 dir…
Apsis Ekseni: Koordinat düzleminde yatay eksen, x eksenidir…
Ar: 100 metrekarelik arazi ölçü birimidir…
Arada Olma: Aynı doğru üzerinde farklı üç noktadan birisinin diğer ikisinin arasında olma-sıdır…
Aralarında Asal Sayılar: En büyük ortak bölenleri 1 olan sayma sayılarıdır… 4 ile 15 aralarında asaldır…
Aritmetik: 1. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi dört işlemin tanımına temel olan tamsayılar kümesinin özellikleri kurulu matematik koludur… 2. Hesaplama ve varsayım kur-ma biçimidir…
Aritmetik Orta: Sonlu bir sayı kümesi elemanları toplamının, bu elemanların sayısına bölü-müyle ortaya çıkan sayıdır…
Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayma sayısı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma-dır… 24 = 2 x 2 x 2 x 3 gibi…
Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayıdır…
Aykırı Doğrular: Aynı düzlemde olmayan ve kesişmeyen doğrulardır…
Ayrık Kümeler: Ortak elemenları olmayan kümelerdir…
Ayrık Olay: Meydana gelişi başka bir olaya bağlı olmayan olaydır…
Ayrıt: Bir cismin iki yüzeyinin arakesitidir…
Bağıntı: Bir kartezyen çarpımın alt kümesidir…
Basit Kapalı Eğri: Düzlemde herhangi bir noktadan bir kez geçmek üzere, çizime başlanılan noktada biten eğridir…
Bileşik Önerme: Birden fazla basit önermeden oluşan önermedir…
Binom: Dereceleri ya da değişkenleri farklı iki terimden oluşan polinomdur…
Bire Bir Eşleme: İki kümenin elemanları arasında, bir elemana karşı yalnız bir eleman alınarak yapılan eşlemedir…
Bire Bir Fonksiyon: Tanım kümesinin her bir elemanını yine kendisine eşleyen fonksiyondur…
Birleşim İşlemi: Kümelerin tüm elemanlarından oluşan kümelerin bulunmasıdır…
Birleşim Kümesi: Kümelerin tüm elemanlarının oluşturduğu kümedir…
Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümedir…
Boyut: Uzunluk, genişlik ve yükseklikten herbiridir…
Bölen: Bir bölme işleminde bölünenin kaç eşit parçaya ayrıldığını gösteren sayıdır…
Bölüm: Bölme işleminde bölünen içinde bölenin kaç defa olduğunu gözteren sayıdır…
Bölünen: Bölme işleminde eşit kısımlara ayrılmak istenen sayıdır…
Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıdır…
Büyük Çember: Küre yüzeyi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir…
Büyük Daire: Küre cismi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir..
Cisim: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış iki işlemin belli şartları taşımasıdır… Çap: Çemberin merkezinden geçen kiriştir…
Çarpan: Bir çarpma işlemindeki sayılardan herbiridir…
Çarpanlara Ayırma: Bir sayma sayısını en aziki sayının çarpımı şeklinde yazmadır…
Örnek: 48 = 6 x 8
Çarpım: Çarpma işleminin sonucudur…
Çelişki: Doğruluk değeri daima “0″ olan bileşik önermedir…
Çember: Düzlemde sabit bir noktadanaynı uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir…
Çembersel Bölge: Çember ile çemberin iç bölgesinin birleşimidir…
Çıkan: Çıkarma işleminde, eksilenden ne kadar eksiltileceğini gösteren sayıdır…
Çift Gerektirme: Totoloji olan iki yönlü koşullu önermedir…
Çift Sayı: 2 ile tam bölünebilen sayıdır…
Dar Açı: Ölçüsü 90° den küçük olan dar açıdır…
Dekametre: 10 metrelik uzunluk ölçü birimidir…
Dekar: 10 ar veya 1000 m2 lik arazi ölçü birimidir…
Denk Kümeler: Birebir eşlenebilen, eleman sayıları eşit olan kümelerdir…
Derece: Bir çemberin 1 / 360 lık yayını gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir…
Dikdörtgen: Düzlemde üçü doğrusal olmayan A , B , C , D noktalarının birleşiminden elde edilen dörtgenin açıları dik ise [AB] , [BC] , [CD] , [DA] doğru parçalarının birleşim kümesidir…
Dikdörtgenler Prizması: Altı tane dikdörtgensel bölgenin birleşiminden oluşan kapalı bölgedir…
Dikdörtgensel Bölge: Dikdörtgen ile iç bölgesinin birleşim kümesidir…
Dikdörtgenler Prizması Cismi: Dikdörtgenler prizması ile içinin birleşimidir…
Dik Üçgen: Bir açısı dik olan üçgendir…
Doğal Sayı: N = {0,1,2,3,4,…} kümesinin elemanlarıdır…
Doğru Açı: Ölçüsü 180° olan açıdır…
Eksilen: Çıkarma işleminde azaltılması istenen sayıdır…
Eleman: Bir kümeyi oluşturan nesnelerden herbiridir…
En Büyük Ortak Bölen: İki veya daha çok sayma sayısını ortak olarak bölen sayma sayılarının en büyüğüdür…
En Küçük Ortak Kat: İki veya daha çok sayma sayılarının ortak katlarının en küçüğü olan sayıdır…
Eş Üçgenler: Karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ve karşılıklı açıların ölçüleri eşit olan üçgenlerdir…
Eşit Kümeler: Aynı elemanlardan oluşan kümelerdir…
Evrensel Küme: Üzerinde çalışılan konuyla ilgili olan tüm elemanları içeren kümedir…
Evrensel Niceleyici: ile gösterilir ve “her” ya da “bütün” diye okunur…
F Fonksiyonunun Değer Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, B kümesidir…
F Fonksiyonunun Görüntü Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, f(A) kümesidir…
F Fonksiyonunun Tanım Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, A kümesidir…
Faiz: Bankaya yatırılan paranın belirli bir süre sonunda getirdiği kazançtır…
Fark: Çıkarma işleminin sonucudur…
Fonksiyon: Çıkış kümesinin her elemanına, en çok bir görüntü eşilk ettiren bağıntıdır…
G Bileşke F Fonksiyonu: f : A –> B ve g : B –> C birer fonksiyon olmak üzere, A dan C ye (gof)(x) = g( f(x) ) kuralı ile belirlenen fonksiyondur…
Genişlik: Dikdörtgen veya dikdörtgenler prizmasında boyutlardan biridir…
Gerektirme: Totoloji olan şartlı önermedir…
Görüntü: Sayı ekseni üzerinde bir sayıya karşılık gelen noktadır…
Grup: Bir küme ve bunun üzerinde tanımlanan bir işlemin belli şartları taşımasıdır…
Hacim: Kapalı uzay parçasının ölçüsüdür… Bir uzay parçasında birim hacimin kaç defa olduğunu gösteren sayıdır…
Halka: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış iki işlemin belli bazı şartları taşımasıdır…
Hektar: 100 ar veya 10000 m² lik arazi ölçüsü birimidir…
Hektometre: 100 metrelik uzunluk ölçü birimidir…
Hipotez: p => q teoreminde p önermesidir…
Hüküm: p => q teoreminde q önermesidir…
Işın: Doğruda ayırma noktası ile bu noktanın bir yanında bulunan noktaların oluşturduğu kümedir…
İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyon.
İhtimal: Bir olayın olabilme şansını belirten sayıdır…Olasılık…
İki Kümenin Birleşimi: İki kümenin elemanlarından oluşan kümedir…
İki Kümenin Kesişimi: İki kümenin ortak olan elemanlarından oluşan kümedir…
İki Yönlü Koşullu Önerme: pq biçimindeki bileşik önermedir…
İkili: İki nesnenin oluşturduğu sıralı ikilidir…
İkili İşlem: Bir kümenin iki elemanından gene bu kümeye ait bir elemanın elde edilmesini sağlayan kuraldır…
İrrasyonel Sayı: Rasyonel olmayan sonsuza kadar devreden sayıdır… Örnek: = 3,1415…
İskonto: Bir malın satış fiyatı üzerinden yapılan indirimdir…
İspat: Bir teoremin hükmünün kesin olarak doğru olduğunun gösterilmesidir…
İşlem: A x A nın bir alt kümesinden A ya fonksitondur…
Kalan: Bölme işleminde bölünenden artan veya çıkarma işlemindeki farktır…
Kapalı Bölge: Basit bir kapalı eğri ile bu eğrinin iç bölgesinin birleşimidir…
Kapsama: Bir kümenin başka bir kümeyi içine almasıdır…
Kare: Bütün kenarları eş ve karşılıklı açıları dik olan dörtgendir…
Kental: 100 kg’lık ağırlık ölçü birimidir…
Kesen: Çemberi farklı iki noktada kesen doğrudur…
Kesir: Bütünün eş parçalarından bir veya birkaçını gösteren sayıdır…Örnek: 5/7 , 8/9 gibi…
Kesişen Doğrular: Yalnız bir ortak noktaları olan doğrulardır…
Kesişim İşlemi: Kümelerin ortak elemanlarının oluşturduğu kümenin bulunmasıdır…
Kesişim Kümesi: Kümelerin ortak elemanlarından oluşan kümelerdir…
Kiriş: Uç noktaları çember üzerinde olan doğru parçasıdır…
Kombinasyon: n, r doğal sayı ve r£n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elamanlı her alt kümesine A kümesinin r li kombinasyonu ya da kombinezonu denir…
Komisyon: yapılan bir alışverişte, aracı olan kimseye yaptığı hizmet karşılığı ödenen para-dır…
Komşu Açılar: Birer kenarları ortak, diğer kenarları bu kenara göre farklı tarafta bulunan iki açıdır…
Komşu Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan komşu açılardır…
Komşu Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan komşu açılardır…
Koni: Tabanı dairesel ya da elips biçiminde olan ve yukarı doğru gitgide daralarak sivrilen cisimdir…
Konik: Koni biçiminde olan…
Koordinat Düzlemi: Birbirini dik kesen, yönlendirilmiş iki doğrunun belirttiği düzlemdir…
Küçük Daire: Küre cismi ile kürenin merkezinden merkezinden geçmeyen düzlemin arake-sitidir..
Küçük Çember: Küre kapalı yüzeyi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir…
Küp: Altı yüzü de karesel bölge olan prizmadır…
Küre: Uzayda, sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir…
Kürenin İçi: Küre merkezine uzaklıkları kürenin yarıçapından küçük olan noktaların kümesidir…
Matematik Sistem: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış bir veya daha çok işlemden oluşan sistemdir…
Modüler Aritmetik: m>1 ve m doğal sayılar kümesinin bir elemanı olarak, tamsayıların m ile bölümünden kalan sınıfları ile yapılan aritmetiktir…
Mutlak Değer: x reel sayılar kümesinin bir elemanı olarak, sayı doğrusunda x e karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığı, x in mutlak değeridir… | x | olarak gösterilir…
Nesne: “Kişi” ya da “Kimse” ile anlatılan varlıkların dışında kalan ağırlığı, kütlesi olan her türlü varlıklardır…
Nicelik: Bir şeyin sayılabilen, ölçülebilen, azalıp çoğalabilen özelliği yani miktarıdır…
Nitelik: Bir şeyin nasıl olduğunu belirten, onu başka şeylerden ayıran özelliktir…
Nokta: İki doğrunun kesiştiği yerde bulunan çok küçük boyutlu uzay öğesidir…
Olasılık: Bir olayın olabilme şansını gösteren sayıdır…
Olmayana Ergi Metodu: Bir teoremde hükmün değilini doğru varsayıp hipotezin değilini elde ederek yapılan ispattır…
Ondalık Açılım: Bir ondalık kesrin virgül ile gösterilmesidir…Örnek: 2 / 5 = 0,4 gibi…
Ondalık Kesir: Paydası 10 un tam kuvveti şeklinde olan veya bu duruma getirilebilen sayılardır…
Oran: Aynı ölçü birimi ile ölçülebilen çoklukların veya iki kümenin elemanlarının bölüm yoluyla karşılaştırılmasıdır….
Orantı: İki oranın eşitliğidir… a,b,c,d gerçek sayıları için a/b = c/d eşitliği bir orantıdır…
Ortak Bölen: Birden fazla sayma sayısını kalansız olaraka bölen sayma sayısıdır…
Ortak Kat: Birden fazla sayma sayısının katı olan sayma sayısıdır…
Paralel Doğrular: Bir düzlem içinde olup ortak noktaları bulunmayan doğrulardır…
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir…
Permütasyon: Bir kümenin ya da küme parçalarının elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişleridir…
Permütasyon Fonksiyonu: A dan A ya bire bir olan fonksiyondur…
Rakam: Sayıları yazmak için kullanılan işaretlerdir…
Rasyonel Sayı: a,b birer tamsayı, b sıfır olmamak şartıyla a/b şeklinde yazılabilen sayıdır…
Reel Sayılar: Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi olan kümedir…
Sabit Fonksiyon: Tanım kümesinin bütün elamanlarını değer kümesinin aynı elamnı ile eşleyen fonksiyondur…
Sayı Doğrusu: Bir doğru üzerinde bir başlangıç noktası alınıp sağa doğru eşit aralıklarla noktalar işaretlerle , başlangıç noktası 0, diğer noktalar sıra ile 1,2,3,… ile eşlenirse elde edilen şekil bir sayı doğrusu olur…
Sayma Sayısı: {1,2,3,4,…} kümesinin elemanlarından herbiridir…
Sembol: Belirlenmiş bir anlamı olan resim, şekil, harf gibi işaretlerdir… Simge…
Sıralı İkili: Kartezyen çarpım kümesinin elemanlarıdır…
Sıfır Fonksiyonu: f(x)=0 kuralı ile verilen fonksiyondur…
Sonlu Küme: Hiç bir özalt kümesi ile birebir eşlenemeyen kümedir…
Sonsuz Küme: En az bir özalt kümesi ile birebir eşlenebilen kümedir…
Tam Açı: Ölçüsü 360° olan açıdır…
Tamsayılar: Z = {…, - n,…, -1,0,1,2,3,…n,…} sayı kümesidir…
Tek Sayı: Çift olmayan tamsayıdır…
Terim: Toplama ve çıkarma işlemlerinde toplanan veya çıkan sayılardan her biri…
Ters Eleman: A kümesinde tanımlı bir * işleminin etkisiz elemanı e olduğuna göre
a * x = x * a = e koşulunu sağlayan x elemanı a elemanının * işlemine göre ters elemanıdır…
Ters Rasyonel Sayılar: Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayıdan her biridir…
Totoloji: Doğruluk değeri daima 1 olan bileşik önermedir…
Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıdır…
Uzay: Bütün varlıkların içinde bulunduğu sonsuz sayıda noktaların oluşturduğu kümedir…
Uzunluk: Dikdörtgen veya dikdörtgenler prizmasındaki boyutlardan biridir…
Varlıksal Niceleyici: sembolü ile gösterilir ve “en az bir” veya bazı anlamlarını taşır…
Venn Şeması: Bir kümenin elemanlarının bir kapalı eğri içine yazılarak gösterilmesidir…
Vektör: Doğrultuları, yönleri ve boyları aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesidir…
Yamuk: Yalnız iki kenarı paralel dörtgendir…
Yarıçap: Çemberin merkezini herhangi bir noktasına birleştiren doğru parçasıdır…
Yay: Çember üzerinde farklı iki nokta ile sınırlı çember parçasıdır…
Yönlü Doğru Parçası: Bir ucu başlangıç, diğer ucu bitiş noktası olarak seçilen doğru parçasıdır…
Yer Vektörü: Başlangıç noktası orijinde olan vektördür…
Zıt Işınlar: Başlangıç noktaları aynı (ortak), bileşimleri bir doğru oluşturan ışınlardır…
Zıt Vektörler: Başlangıç noktası, doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri zıt olan vektörlerdir…

//mutlumatematik.sitemynet.com/sozluk/den alınmıştır. öğrencilerin faydalanmaları için.

Selami ALKAN (SND) Safranbolu / 2007

MATEMATİK TERİMLER SÖZLÜĞÜ (3)

1-Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir.
2-Eleman sayıları eşit olan kümelere DENK KÜMELER denir.
3-Aynı elemanlardan oluşan kümelere EŞİT KÜMELER denir.
4-Ortak elemanları olmayan kümelere AYRIK KÜMELER denir.
5-Bir kümenin elemanlarından oluşan diğer kümeye o kümenin ALT KÜMESİ denir.
6-İki veya daha fazla kümenin elemanlarından oluşan kümeye BİRLEŞİM KÜMESİ denir.
7- İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye KESİŞİM KÜMESİ denir.
8-Birden (1) başlayarak sonsuza kadar devam eden sayılara SAYMA SAYILARI denir.
9-Sayma sayılarına sıfırın (0) katılmasıyla oluşan sayılara DOĞAL SAYILAR denir.
10-Bir sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerlere BASAMAK denir.
11-Basamaklar sağdan sola doğru üçer üçer gruplara ayrılır.Bu gruplara BÖLÜK denir.
12-Rakamların sayıda bulunduğu basamağa göre aldığı değere BASAMAK DEĞERİ; basamağa bağlı olmadan aldığı değere SAYI DEĞERİ Denir.
13-Kesirler BASİT,BİLEŞİK ve TAMSAYILI olmak üzere üçe ayrılır
14-Kesir sayısında üstteki rakam PAY; alttaki rakam PAYDA dır.
15-Payı paydasından küçük olan kesirlere BASİT KESİR denir.
16-Payı paydasına eşit veya payı paydasından büyük olan kesirlere BİLEŞİK KESİR denir.
17-Bir sayma sayısı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlere TAM SAYILI KESİR denir.
18-Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan kesir daha büyüktür.
19-Payları eşit kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür.
20-Pay ve paydaları eşit değilse önce paydalar eşitlenir daha sonra bakılır payı büyük olan daha büyüktür.
21-Bileşik kesir basit kesirden daha büyüktür.
22-Tam sayılı kesirlerde tam sayısı büyük olan kesir diğerinden büyüktür.
23-Paydası 10,100,1000….. gibi 10 ve 10 un katları olan kesirlere ONDALIK KESİR denir.
24-Bir ondalık kesirde virgülün solundaki basamaklar TAM KISIM; sağındaki basamaklar ONDALIK KISIMdır.
25-Kesirlerde Dört İşlem Yaparken Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar:
TOPLAMA:Paydalar eşit ise paylar toplanır payda aynen yazılır.Paydalar eşit değilse paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır pay kısmına yazılır payda aynen yazılır.
ÇIKARMA:Toplama işleminin aynısıdır.Paydalar eşit ise paylar çıkarılır payda aynen yazılır.Paydalar eşit değilse paydalar eşitlendikten sonra paylar çıkarılır pay kısmına yazılır payda aynen yazılır.
ÇARPMA: Paylar pay ile paydalar payda ile çarpılarak bulunan pay pay kısmına bulunan payda payda kısmına yazılır.Payda eşitlemesi yoktur.
BÖLME: Birinci kesir aynen yazılır ikinci kesir ters çevrilir ve birinci kesir ile çarpılır.
26-Ondalıklı kesir toplanır veya çıkarılırken tam kısım tam kısım ile toplanır veya çıkarılır kesir kısım yani ondalıklı kısım ondalıklı kısım ile toplanır veya çıkarılır.
27-Bir bölme işleminde bölünen,bölen,bölüm ve kalan vardır.Bölünen =( Bölen*Bölüm )+ Kalan
28-Bölünebilme Kuralları:
2 ile bölünebilme:Birler basamağı çift ( 0,2,4,6,8 ) olan doğal sayılar 2 ile kalansız bölünebilir.
3 ile bölünebilme:Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ve 3 ün katı ( 3,6,9,12,15….) olan doğal sayılar 3 ile kalansız bölünebilir.
4 ile bölünebilme:Son iki basamağı ( yani birler ve onlar basamağı) 4 ve 4 ün katı olan ( 4,8,12,16,20…) doğal sayılar 4 ile kalansız bölünür.
5 ile bölünebilme:Birler basamağı 0 ve 5 olan doğal sayılar 5 ile kalansız bölünebilir.
6 ile bölünebilme:2 ve 3 ile bölünebilen doğal sayılar 6 ile kalansız bölünebilir.
9 ile bölünebilme:Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ve 9 un katı olan (9,18,27,36,45…) doğal sayılar 9 ile kalansız bölünebilir.
10 ile bölünebilme: Birler basamağı sıfır ( 0 ) olan doğal sayılar 10 ile kalansız bölünebilir.
25 ile bölünebilme: Son iki basamağı 00 veya 25 ve katları ( 25,50,75 )olan doğal sayılar25 ile kalansız bölünebilir.
29-Bir ondalık kesri 10 a bölerken virgül bir basamak sola;100 e bölerken virgül iki basamak sola;1000 e bölerken virgül üç basamak sola kaydırılır.Gerekirse eksik basamaklar yerine sıfır konur.
30-Problem çözerken geçen ifadelerden katı (ÇARPMA);fazlası (TOPLAMA); eksik (ÇIKARMA) işlemi anlamına gelir.
31- Ardışık doğal sayılar birer birer artar,ardışık tek veya çift doğal sayılar ikişer ikişer artar.
32- Hareket Problemlerinde Kullanılabilecek Formüller:
Yol = Hız*Zaman ( Yol eşittir Hız çarpı Zaman )
Hız = Yol / Zaman ( Hız eşittir Yol bölü Zaman )
Zaman = Yol / Hız ( Zaman eşittir Yol bölü Hız )
Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman ( Ortalama Hız eşittir Toplam Yol bölü Toplam Zaman )
33- Karışımın Fiyatı = Karışıma Verilen Para / Karışımın Miktarı
34- Aritmetik Ortalama = Sayıların Toplamı / Sayıların Adedi
35- Bütünü bulmak için verilen sayıyı kesrin payındaki sayıya böler ve bulduğumuz sayıyı kesrin paydasındaki sayıyla çarparız.
36- Uzunluk Ölçüler:
Temel Birim: Metredir.Sembolü ( m )
Katları: Kilometre ( km ) ; Hektometre ( hm ) ; dekametre ( dam )
Askatları: Desimetre ( dm ) ; Santimetre ( cm ) ; Milimetre ( mm )
37- Uzunluk ölçüleri 10 ar 10 ar büyür ve 10 ar 10 ar küçülür.
38- 1 km = 10 dam = 100 hm = 1000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
39- Ağırlık ( Kütle ) Ölçüleri:
Temel Birim Gramdır.Sembolü ( g )
Katları: Kilogram ( kg ) ; Hektogram ( hg ) ; Dekagram ( dag )
Askatları: Desigram ( dg ) ; Santigram ( cg ) ; Miligram ( mg )
40-1 Kental = 100 kg ve 1 Ton = 1000 Kg dir.
41-Kütle ölçüleri 10 ar 10 ar büyür ve 10 ar 10 ar küçülür.
42- BRÜT KÜTLE: Bir maddenin kabı ile birlikte olan kütlesidir.
BRÜT KÜTLE:Net Kütle + Dara
43- DARA: bir maddenin bulunduğu kabın kütlesidir.
DARA: Brüt Kütle – Net Kütle
44- NET KÜTLE: Brüt kütleden daranın çıkarılmasıyla bulunan kütledir.
NET KÜTLE: Brüt Kütle – Dara
45- Sıvı Ölçüleri:
Temel Birim Litredir.Sembolü ( l )
1 Litre = 1 dm3 ( Bir desimetre küp yani dm üzeri 3 )
Katları: Kilolitre ( kl ) ; Hektolitre ( hl ) ; Dekalitre ( dal )
Askatları: Desilitre ( dl ) ; Santilitre ( cl ) ; Mililitre ( ml )
46- Sıvı ölçüleri 10 ar 10 ar büyür ve 10 ar 10 ar küçülür.
47- Hacim Ölçüleri:
Temel Birim Metreküptür.Sembolü m3 ( yani m üzeri 3 )
Katları: Kilometreküp ( km3 ) ; Hektometreküp ( hm3 ) ; Dekametreküp ( dam3 )
Askatları: Desimetreküp ( dm3 ) ; Santimetreküp ( cm3 ) ; Mililitre küp ( mm3 )
48- Hacim ölçüleri 1000 er 1000 er büyür ve 1000 er 1000 er küçülür.
49-Dört tür grafik vardır: Şekil,Sütun,Çizgi ve Daire grafikleri.
50- Açı çeşitleri şunlardır: Dar, Dik, Geniş, Doğru ve Tam Açı
Dar Açı: 90 dereceden küçük açı.
Dik Açı: 90 derece olan açı.
Geniş Açı: 90 dereceden büyük 180 dereceden küçük olan açı.
Doğru Açı: 180 derece olan açı
Tam Açı: 360 derece olan açı.
51- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
52- Üçgen Çeşitleri:
Kenarlarına Göre Üçgenler: Çeşitkenar, İkizkenar, Eşkenar
Açılarına Göre Üçgenler: Dar açılı üçgen, Dik açılı üçgen ve Geniş açılı üçgen
53- ÇEŞİTKENAR ÜÇGEN: Kenarları farklı uzunlukta olan üçgendir.
İKİZKENAR ÜÇGEN: İki kenarının uzunluğu eşit olan üçgendir.
EŞKENAR ÜÇGEN: Üç kenarının da uzunluğu eşit olan üçgendir.
54- DAR AÇILI ÜÇGEN: Üç açısı da dar açı olan üçgen.
DİK AÇILI ÜÇGEN: Bir açısı dik olan üçgen.
GENİŞ AÇILI ÜÇGEN: Bir açısı geniş açı olan üçgen.
55-Bir üçgende yalnızca bir açı 90 derece olabilir.
56- Üçgenin çevresi üç kenarının uzunlukları toplamına eşittir.
Üçgenin Çevresi = Ç = a + b + c
57-Üçgenin alanı bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
58- Dik üçgenin alanı = ( Taban * Yükseklik ) / 2
59- Dörtgen çeşitleri şunlardır: Kare, Dikdörtgen, Paralel kenar, Yamuk ve Eşkenar Dörtgen
60- Karenin Çevresi dört kenarının toplamına ya da bir kenarının uzunluğunun 4 ile çarpımına eşittir.
Ç = a + a + a + a Karenin Alanı bir kenarının uzunluğunun kendisi ile çarpımına eşittir.
A = a * a61- Dikdörtgenin çevresi kısa ve uzun kenarlarının toplamına eşittir.
Dikdörtgenin Çevresi = 2 * ( a + b )
Dikdörtgenin alanı kısa ve uzun kenarlarının çarpımına eşittir.
Dikdörtgenin Alanı = a * b
62- Paralel kenarın çevresi dikdörtgenin ki ile aynıdır yani kısa ve uzun kenarlarının toplamına eşittir.
Paralel kenarın Çevresi = 2 * ( a + b )
Paralel kenarın alanı bir kenarı ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
63- Eşkenar dörtgenin çevresi de aynı karenin ki gibidir yani bir kenarının uzunluğunun 4 ile çarpımına eşittir.
64- Yamuğun çevresi dikdörtgen ve paralel kenar gibidir yani dört kenarının uzunluğunun toplamına eşittir.
65- Düzlem üzerindeki sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesine ÇEMBER denir.
66- Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına KİRİŞ denir.
67- Merkezden geçen kirişe ÇAP denir.
68- Çapın yarısına YARIÇAP denir.
69- Çemberi bir noktadan kesen doğruya TEĞET denir.
70-Çembere ait iki nokta arsında kalan çember parçasına YAY denir.
71- Tüm Çember 360 derecelik bir Yay ; Yarım Çember 180 derecelik bir Yay ; Çeyrek Çember 90 derecelik bir Yaydır.
72- Çember ile iç bölgesinin birleşmesiyle DAİRE oluşur.
73- Çemberin Uzunluğu = Ç = 2 * p * r
74- Dairenin Alanı = A = p * r * r
75- Geometrik cisimler şunlardır : Küp, Prizma, Silindir, Küre, Koni, Piramit

HAREZMİ

2009-07-09T04:32:00.000-07:00

Horasan bölgesinde bulunan harezm(bugünkü Türkmenistan'ın Khiva )şehrinde dünyaya gelen Harezmi'nin tam adı Abdullah bin Musa el-Harezmi'dir. Harezm'de temel eğitimimini alan Harezmi gençlinin ilk yıllarında Bağdat'taki ileri bilim atmosferinin varlığını öğrenir. İlmi konulara doyumsuz denilebilecek seviyedeki bir aşkla bağlı olan Harezmi ilmi konularda çalışma idealini gerçekleştirmek için Bağdat'a gelir ve yerleşir. Devrinde bilginleri himayesi ile meşhur olan abbasi halifesi Mem'un Harezmideki ilm kabliyetten haberdar olunca onu kendisi tarafından Eski Mısır, Mezopotamya, Grek ve Eski hint medeniyetlerine ait eserlerle zenginleştirilmiş Bağdat Saray Kütüphanesinin idaresinde görevlendirilir. Daha sonra da Bağdat Saray Kütüphanesindeki yabancı eserlerin tercümesini yapmak amaıyla kurulan bir tercüme akademisi olan Beyt'ül Hikme 'de görevlendirilir.

Böylece Harezmi Bağdat'ta inceleme ve araştırma yapabilmek için gerekli bütün maddi ve manevi imkanlara kavuşur. Burada hayata ait bütün endişelerden uzak olarak matematik ve astronomi ile ilgiliaraştırmalarına başlar. Bağdat bilim atmosferi içerisinde kısa zamanda üne kavuşan Harezmi Şam'da bulunan Kasiyun Rasathanesin'de çalışan bilim heyetinde ve yerkürenin bir derecelik meridyen yayı uzunluğunu ölçmek için Sincar Ovasına giden bilim heyetinde bulunduğu gibi Hint matematiğini incelemek için Afganistan üzerinden Hindistana giden bilim heyetine başkanlık da etmiştir. Harezmi 'nin latinceye çevrilen eserlerinden olan ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümlerini inceleyen El-Kitab 'ul Muhtasar fi 'l Hesab 'il cebri ve 'l Mukabele adlı eseri şu cümleyle başlar : "Algoritmi şöyle diyor: Rabbimiz ve koruyucumuz olan Allah 'a hamd ve senalar olsun" Eserleri:

Matematik İle İlgili Eserleri
1)El-Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebri ve'l Mukabele
2) Kitab al-Muhtasar fil Hisab el-Hind
3) el-Mesahat

Astronomi İle İlgili Eserleri
1) Ziyc 'ul Harezmi
2)Kitab al-Amal bi 'l Usturlab
3)Kitab 'ul Ruhname

Coğrafya İle İlgili Eseri
Kitab surat al-arz
Tarih İle İlgili Eserleri
Kitab 'ul Tarih

ULUĞ BEY (1393 - 1449)

2009-07-09T04:30:00.001-07:00

Türk matematikçilerinden birisi olan Uluğ Bey, Timur'un erkek torunlarından hükümdar olanlardan birinin oğludur. Asıl adı Mehmet'tir. Fakat o, daha çok Uluğ Bey adı ile ünlü olmuştur. 1393 yılında Sultaniye kentinde doğmuştur. Timur'un öldüğü sıralarda Uluğ Bey Semerkant'ta bulunuyordu. Semerkant ve Maveraünnehir, Mirza Halil Sultan'ın saldırısı ve işgali üzerine babasının yanına gitmek zorunda kalmıştır. Babası buraları yeniden yönetimine alarak on altı yaşında olan Uluğ Bey'e yönetimini bırakmıştır. Uluğ Bey, bu tarihten sonra, hem hükümeti yönetmiş ve hem de öğrenimine devam etmiştir.

Uluğ Bey, bilgin ve olgun bir padişahtı. Boş zamanını kitap okumak ve bilginlerle ilmi konular üzerinde konuşmakla geçirirdi. Tüm bilginleri yöresinde toplamıştı. Uluğ Bey, dikkatlice okuduğu kitabı kelimesi kelimesine hatırında tutacak kadar belleği vardı. Matematik ve astronomi bilgileri oldukça ileri düzeydeydi. Bir söylentiye göre, kendi falına bakarak, oğlu Abdüllatif tarafından öldürüleceğini görmüş ve bunun üzerine oğlunu kendisinden uzak tutmayı uygun görmüştür. Baba ile oğlu arasındaki bu soğukluk, Uluğ Bey'in küçük oğluna karşı olan yakınlığı ile daha da şiddetlenmiş ve sonunda Uluğ Bey'in korktuğu başına gelmiştir.

Uluğ Bey, Semerkant'ta bir medrese ve bir de rasathane yaptırmıştır. Kadı Zade bu medreseye başkanlık etmiştir. Rasathane için yörede bulunan tüm mühendis, alim ve ustaları Semerkant'a çağırmıştır. Kendisi için de bu rasathanede bir oda yaptırarak tüm duvar ve tavanları gök cisimlerinin manzaralarıyla ve resimleriyle süsletmişti. Rasathanenin yapım ve rasat aletleri için hiç bir harcamadan kaçınmamıştır. Bu gözlemevinde yapılan gözlemler, ancak on iki yılda bitirilebilmiştir.

Gözlemevinin yönetimini Kadı Zade ile Cemşid'e vermiştir. Cemşid, gözlemlere başlandığı sırada ve Kadı Zade de gözlemler bitmeden ölmüştür. Gözlemevinin tüm işleri o zaman genç olan Ali Kuşçu'ya kalmıştır. Bu gözlem üzerine Uluğ Bey, ünlü Zeycini düzenlemiş vebitirmiştir. Zeyç Kürkani veya Zeyç Cedit Sultani adı verilen bu eser, birkaç yüzyıl doğuda ve batıda faydalanılacak bir eser olmuştur. Zeyç Kürkani bazı kimseler tarafından açıklanmış ve Zeyç'in iki makalesi 1650 yılında Londra'da ilk olarak basılmıştır. Avrupa dillerinin birçoğuna, çevrilmiştir. 1839 yılında cetvelleri Fransızca tercümeleriyle birlikte, asıl eser de 1846 yılında aynen basılmıştır.
Zeyç Kürkani'nin asıl kopyalarından biri Irak ve İran savaşlarından sonra Türkiye'ye getirilmiş ve halen Ayasofya kütüphanesindedir. Bir hile ile oğlu Abdüllatif tarafından 1449 yılında öldürülmüştür.

Ahmet FERGANİ

2009-07-09T04:10:00.000-07:00

9. yüzyılın başlarında dünyaya geldiği kabul edilen ünlü matematik ve astronomi bilgini Ahmet Ferganî, çağının bilim ve kültür merkezlerinden olan Türkistan'ın Fergana bölgesindendir. Bilim ve kültür tarihimizin birinci elden kaynakları olan tezkireler (biyografik eserler)de doğum tarihi ile ilgili bir bilgi bulunmamakla birlikte kendisi gibi bir astronom olan babasının adının Muhammed, dedesinin ise Kesir olduğu kayıtlıdır.

Ahmet Ferganî, ilk öğrenimini ünlü bilginlerin yetiştiği Fergana'da yaptı ve büyük bir ihtimalle astronomi konusundaki bilgilerini babasından aldı. Belli bir seviyeye geldikten sonra da mevcut bilgilerine yeni bilgiler katmak amacıyla da, çağının bilim, kültür ve aynı zamanda halifelik merkezi olan Bağdat'a geldi. Ömrünün yarısına yakınını burada geçiren Ferganî, kısa sürede matematik ve astronomi konularındaki bilgisini Bağdat bilim çevresine kabul ettirip, bilimin gelişmesine olan katkılarıyla bilim tarihinde adlarından övgüyle bahsedilen Abbasi halifelerinden Me'mun ve el-mütevekkil döneminin en ünlü bilginleri arasına girdi
861 yılında halife el-Mütevekkil tarafından Nil ırmağı kıyısında yapılan ölçüm işlerini yürütmesi için Mısır'a gönderilen Ferganî'nin, bundan sonraki yaşamı bilinmiyor.

Ali Nesin (1956- ?)

2009-07-09T04:07:00.001-07:00

1956′da İstanbul’da doğdu. İlkokuldan sonra ortaokulu İstanbul’da Saint Joseph Lisesi’nde, liseyi de İsviçre’nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 yılları arasında Paris VII Üniversitesi’nde matematik öğrenimi gördü. Daha sonra ABD’de Yale Üniversitesi’nde matematiksel mantık ve cebir konularında doktora yapan Ali Nesin, 1985-1986 arasında Kaliforniya Üniversitesi Berkeley Kampusü’nde öğretim üyeliği yaptı. Türkiye’ye kısa dönem askerlik görevi için geldiği sırada “orduyu isyana teşvik” iddiasıyla tutuklanarak yargılandı. Yargılanma sonunda beraat ettiği halde pasaport verilmediği için işine dönemeyen Nesin, sonunda yeniden passaport alarak yurtdışına gitti. 1987-1989 arasında Notre Dame Üniversitesi’nde yardımcı doçent, ardından 1995′e kadar Kaliforniya Üniversitesi Irvine Kampusü’nde doçent ve daha sonra profesör olarak görev yaptı. 1993-1994 Öğretim Yılı’nı Bilkent Üniversitesi’nde misafir öğretim görevlisi olarak geçirdi. 1995′te, babası Aziz Nesin’in ölümü üzerine yurda kesin dönüş yaptı ve Nesin Vakfı yöneticiliğini üstlendi. Ayrıca Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü Başkanı olan Ali Nesin iki çocuk sahibidir. Kasım 2004′den beri de Nesin Yayınevi genel yönetmenliğini yapmaktadır.

Ali Nesin’in Matematik ve Korku, Matematik ve Doğa, Matematik ve Sonsuz, Develerle Eşekler, Önermeler Mantığı adlı kitaplarının yanısıra çeşitli dergilerde çıkmış bilimsel makaleleri ve İngilizce bir kitabı bulunmaktadır. Matematiksel araştırma alanı “Morley mertebesi sonlu gruplar”dır. Aynı zamanda, üç ayda bir yayımlanan, Matematik Dünyası adlı bir matematik dergisi çıkarmaktadır.

Matematik araştırmaları, bölüm başkanlığı ve Nesin Vakfı yöneticiliğinin yanı sıra yağlıboya resim, desen ve portre çalışmaları da yapmaktadır.

Masatoşi Gündüz İkeda (1926-2003)

2009-07-09T04:06:00.001-07:00

Cebirsel sayılara katkılarıyla tanınan Japon asıllı Türk matematik bilgini. 1948′de Osaka Üniversitesi Matematik Bölümü’nü bitirdi. 1953′te doktor, 1955′te de doçent unvanlarını aldı. 1957-59 arasında Almanya’da Hamburg Üniversitesi’nde Helmuth Hasse’nin yanında araştırmalar yaptı. Hasse’nin önerisi üzerine 1960′ta Türkiye’ye gelerek Ege Üniversitesi Tıp Fakültesinde İstatistik dersleri vermeye başladı. 1961′de aynı üniversitenin fen fakültesinde yabancı uzmanlığa atandı. 1964′te Türk uyruğuna geçerek, 1965′te doçent, 1966′da profesör oldu. 1968′de Ege Üniversitesi’nin izniyle bir yıl süreyle çalışmak üzere Orta Doğu Teknik Üniversitesi’ne gitti. İzninin bitiminde Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nin sürekli kadrosuna girdi. Çeşitli tarihlerde Hamburg, ABD’deki California ve Ürdün’deki Yermuk üniversitelerinde konuk öğretim üyesi,1976′da Princeton’daki Yüksek Araştırma Enstitüsü’nde araştırmacı olarak çalıştı.

Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu’nun (Tübitak) Temel Bilimler Araştırma Kurumunda yer aldı. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Pür Matematik Araştırma Ünitesi başkanlığı yaptı. Cebir ve sayılar kuramına katkılarından dolayı 1979′da Tübitak Bilim Ödülü’nü kazandı. Japonya’da bulunduğu dönemde halkalar kuramı ve grupların matrisle gösterimi üzerine araştırmalar yapan İkeda, 1970′lerde cebirsel sayılar kuramına yönelerek, rasyonel sayılar cisminin salt Galois grubunun otomorfizimleri ve tümelliği konularında önemli çalışmalar gerçekleştirdi. Ünlü matematik dergisi Crelle’s Journal’da yayımlanan bir çalışmasında Galois grubunun çok özel bir yapıda olduğunu gösterdi.

Salih Zeki Bey (1864-1921)

2009-07-09T04:04:00.001-07:00

1864 yılında İstanbul’da yoksul bir ailenin oğlu olarak dünyaya geldi. Babası Boyabatlı Hasan Ağa, annesi Saniye Hanımdır. Anne ve babasının ölümü üzerine ninesi tarafından on yaşındayken Darüşşafaka’ya verildi. 1882 yılında Darüşşafaka’yı birincilikle bitirdi. Aynı yıl Posta ve Telgraf Nezareti Telgraf Kalemi (Fen Şubesi)’ne memur olarak atandı. 1884 yılında Nezaretin Avrupa’da uzman telgraf mühendisi ve fizikçi yetiştirme kararı üzerine birkaç arkadaşıyla birlikte Paris’e gönderildi ve burada Politeknik Yüksekokulu’nda elektrik mühendisliği öğrenimi gördü. 1887 yılında İstanbul’a döndü ve eski dairesinde elektrik mühendisi ve müfettiş olarak çalıştı. Ek görev olarak Mekteb-i Mülkiye’de (bugün Ankara Üniversitesi’ne bağlı Siyasal Bilgiler Fakültesi) fizik ve kimya dersleri verdi (1889-1900). Bu arada Rasathane-i Amire müdürlüğünde ve II. Meşrutiyetin ilanından (1908) sonra Maarif Nezareti Meclis-i Maarif üyeliğinde bulundu. 1910’da Mekteb-i Sultani (bugün Galatasaray Lisesi) müdürlüğüne atandı. 1912’de Maarif Nezareti müsteşarı, 1913’te Darülfünün-ı Osmani (bugün İstanbul Üniversitesi) rektörü oldu. 1917’de rektörlükten ayrıldıysa da üniversitedeki görevini Fen Şubesi (Fakültesi) Müderrisi (Profesör) olarak sürdürdü. Ömrünün sonuna doğru aklî dengesini kaybetti ve tedavi altındayken 1921 yılında Şişli’deki Fransız Hastanesi’nde öldü. Fatih Camiinin bahçesine gömüldü.

3 kez evlenmiş olan Salih Zeki, bu evliliklerden birini Halide Edip’le (Adıvar) yapmış, ölümünden kısa bir süre önce ayrılmıştı. Salih Zeki, önde gelen son dönem Osmanlı matematik bilginlerindendi. İkdam, Darüşşafaka ve İktisadiyat gazeteleri ile Darülfünun dergisine sayısız katkıda bulundu. Dönemin ünlü bilginleriyle matematik ve fen bilimleri konusunda yazılı tartışmalara girdi ve bu konularda bir kısmı ders kitabı olmak üzere çok sayıda yapıt verdi.

Yapıtları: Hendese (Geometri) [lise ders kitabı]; Hikmet-i Tabiiye (Fizik) [lise ders kitabı]; Mebhas-ı Savt (Fonetik); Mebhas-ı Elektrik-i Miknatisi (Elektro Magnetizma); Mebhas-ı Hararet-i Harekiye (Termodinamik); Mebhas-ı Cazibeyi Umumiye (Genel Çekim); Mebhas-ı Elektrikiyet ve Şariyet (Elektrik ve Kılcallık); Hesab-ı İhtimali (İhtimaller Hesabı); Mebhas-ı Hareket-i Seyalat (Akışkanların Hareketi); Hendese-i Tahliliye (Analitik Geometri); Mebhas-ı Nazariye-i Temevvücat (Dalga Teorisi); Heyet-i Riyaziye (Matematik Astronomi); Kamus-u Riyaziyat (Matematik Ansiklopedisi); Asar-ı Bakiye (Ölmez Eserler). Son iki yapıtın tamamı, ayrıca Henri Poincare’den çevirdiği dört kitap basılmamıştır.