Matematiksel Sanat

Önyargılarımızı bir tarafa bırakıp matematiğin insanlara sıkıcı görünme nedenini açıklamaya çalışalım. Basit bir neden olarak matematik dünyasını kolay algılayamadığımızı ve hissedemediğimizi söyleyebiliriz. Bunun nedeni ise, matematiğin kendi yapısı ve bu yapıyı ören profesyonel matematikçilerin tavrıdır. Matematikçiler ayrı bir dünyada gibidirler, olayları algılayışları ve ifade edişleri farklıdır.

Bu ifadenin gündelik yaşam dilinden farklı olmasını yadırgamak yersiz olur. Matematikteki soyutluk, beş duyumuz aracılığıyla edindiğimiz bilgileri anlamlandırmakta ve aktarmakta kullandığımız dildeki görece anlatımlardan kurtulmak için gereklidir. Matematik evrensel bir dil olma niteliğini bu şekilde kazanmaktadır. Matematik yeterince bilgi edinmeden ve çalışmadan anlaşılamaz.

Bireyler olarak o kadar küçüğüz ki içine doğduğumuz dünyanın sadece küçük bir parçasını algılayabiliyoruz. Bu dünya bizim anlama kapasitemizden büyüktür ve doğal olarak tüm detayları anlamamız imkansızdır. Ama matematikle birlikte bu koca dünyanın nasıl birşey olduğu hakkında genel bir duyuma sahip olabiliriz. Tanımlamayı, analiz etmeyi, çıkarımlar yapmayı, dizgelemeyi, daha dolgun, anlamlı ve işlevsel düşünceler üretmeyi öğrenebiliriz. Böylece zekanın derinliklerinde ve sınırlarında gezinerek kendi sınırlarımızı zorlamak ve genişletmek imkanı buluruz.
Mathart, matematiksel sanat, karşımıza çıktığı biçimiyle, matematikçinin içinde yaşadığı dünyayı profesyonel matematikçilerin çemberi dışına taşımak için yapılan güçlü bir girişimdir. Matematikle sanatın ilişkilendirildiği makalelerde, Rönesans dönemi sanatçılarının çalışmaları, özellikle altın oran ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanılışı, doğadaki geometri, fraktallar ve bunların şaşırtıcı görünümleri ve elbette matematik ve müzik ilişkisi konularından bahsedilir. Fakat matematiksel sanat farklı bir önerme olarak karşımıza çıkmakta. Çıkış noktası, kuramsal bağlamı ve yolu matematiksel; tekniği ve ürünü sanatsal olan matematiksel sanat ile soyut kavramlar ve düşünce formları fiziksel materyallere ve görünümlere dönüşmektedir. Böylece bir yandan matematikçiler "diğerleriyle" farklı bir platformda iletişim kurabilme, öte yandan yeterli bilgiye sahip olmayan insanlar, matematikçilerin kafasının içinde olan biteni hissedebilirle şansı yakalamaktadırlar, ilk bakışta soğuk ve inorganik görünen matematiksel sanat, Heleman R. P. Ferguson, Anatolii T. Fomenko'nun çalışmalarında sıcak ve canlıdır. Ünlü matematikçi Fomenko, bize matematik dünyasından enstantaneler taşırken, sanatçı Ferguson heykelleriyle matematiksel düşünceyi yüceltir. Yeni bir bakış açısıyla M.C. Escher'in eserlerini de bu konuya dahil edebiliriz. Ne de olsa Escher kendini matematikçilere daha yakın hissetmiştir. Bu insanlar bize matematiksel düşüncenin ve sanatsal becerinin doğurduğu etkileyici sonuçların örneklerini vermektedirler. Gelin bu örnekleri inceleyen kısa bir gezintiye çıkalım.

Matematik Dünyasından Fotoğraflar:
İlk durağımızda ünlü Rus matematikçi Anatolii T. Fomenko'nun çalışmaları var. Özgeçmişinden anlaşıldığına göre Fomenko, tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı ödüller ve madalyalarla dolu. Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü'nde tamamlayan matematikçinin başarılı akademik kariyeri boyunca 140'dan fazla yayınlanmış makalesi ve 16'yı aşan kitabı bulunmaktadır. Böylesi güçlü bir matematikçi kimliğin yanında resim, amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle küçük yaşlardan beri sürdürülen bir uğraş olarak belirir. Matematiği hep çizerek ifade etmeye çalışan Fomenko bunun nedenini açıkça belirtir:

" ... Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim ilgi çekici matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar. Benim için önemli olan sanatçı olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır. Böylece diğer insanlar da bu dünyaya katılabilirler".

Fomenko ileTopoloji:
Fomenko daha çok matematikteki çalışma alanı olan topolojik nesneleri ve olayları resmeder. Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen ve yaygınlaşan alanlarından biri olarak bilinir. Kabaca "esnek madde geometrisi" olarak tanımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına gelmeyen ve esnek bir maddeden yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebilir. Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzerek veya çekip genişleterek yapılan bu dönüşümü bir fonksiyon olarak düşünebiliriz ve buna da homeomorfizm denir. Bir karenin daireye, kübün pramite, bir torusun kahve fincanına, daha da ilginci bir noktası atılmış bir kürenin reel düzleme (R2) homeomorfik olması gibi...

Topoloji öğrenmek insanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü konu olan nesneler ve bunların elde edilme yöntemleri olağan dışı özellikler gösteriyor. Tecrübe etmek için Şekil 2'de görünen dikdörtgenleri ok yönünde yapıştırın. Fiziksel anlamda bu işlemleri sonuçlandırmak genelde mümkün değildir. Bu yüzden düş gücünüzü yardıma çağırmanız gerekecek. Bu yöntemle oluşan Möbius Şeridi tek tuzlu, içi dışı olmayan bir nesnedir. Yani içi ve dışı aynı yüzeydir. Bir diğeri ünlü Klein Şişesi, iki Möbius Şeridi'nin yapıştırılmasıyla elde edilir, iki Möbius Şeridi kenarlarından yapıştırılabilir mi? Deneyin!! Kelin Şişesi için şekilde tariflenen yapıştırma yönüne dikkat edilirse şişenin kendini kesmemesi gerektiği görülebilir. Fakat bunu üç boyutlu uzayda göstermek imkansızdır. Klein şişesi dört boyutlu içi dışı olmayan bir nesnedir. Çizimde kendini keser gibi görüldüğü için algılaması zor olan bu durumu dikkatlice düşününce siz de kavrayabilirsiniz. Dördüncü boyutta bu şişeye su doldurmak oldukça eğlenceli olurdu.

Matematik dünyasını fotoğraflamak:
Tahmin edeceğiniz üzere topoloji, matematikçilerin oyun düşkünlüğüyle örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir yığın görsel malzemeyle dolu. Tabi ki matematikçiler için ası! heyecan verici olan bu oyunların içindeki teori. Fomenko ise doğası kolay anlaşılmayan bu dünyayı resmetmeye çalışıyor. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta ne olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı, yol boyunca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak istiyor ve bunu fotoğraf çekmeye benzetiyor. Gördüklerini ve hissettiklerini belgelemek için çiziyor. Resimlerinde kurguladığı mekanlarda Rus masallarından, mitolojiden ve antik çağın öykülerinden faydalanıyor. Fomenko'nun resimlerinde mekanlar alabildiğine büyük, insanlar alabildiğine küçük görünüyor Fomenko bu hissi şöyle vurguluyor:

" Biz şu öğrenen adamlar, tahmin edemeyeceğimiz şeylerin her an olabileceği, fırtınalı bir dünyada yaşıyoruz"
Resimlerin kaotik yapısı, izleyiciyi zor durumda bırakacak kadar karışık birçok detayla dolu olması bu fikre dayanıyor olmalı. Bizler teknoloji çağının çocukları bildiklerimizle ne kadar çok övünürüz, oysa bilmediklerimizin fazlalığı merakımızı kamçılamalı.

Müzik ve matematik
Müzik ve matematik ilişkisi Fomenkonun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova Üniversitesi Topaz grubunda müzik yapmış olan Fomenko'nun resimleriyle müzik arasında önemli bağlar bulunur. Fomenko'ya göre müzik ve matematiğin temel motifi sonsuzluktur:
" Profesyonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramıyla ilgilenirler. Bu yüzden tam olarak tanımlanamasa da sonsuza ait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açıkça görülmese de bu durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir." (4)
Fomenko'nun görüntülediği dünyada onun izlenimlerine tanık olmak pek kolay değil. Oldukça detaylı, karışık iç içe geçmiş yapılar; koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler, zor kavramlar... Sanatçının kendisinin de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlaşılamayacağını itiraf etmektedir. Yine de garip bir dünyadan gelmiş fantastik öyküler anlatan bu "fotoğrafların" izleyici üstünde bırakacağı etkiyi kim tayin edebilir!

Bronz ve Taş Üstüne Kuramlar
İkinci durağımız Amerikalı sanatçı Heleman R. P. Ferguson. Sanat eğitimini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji'nde yapan Ferguson, matematik eğitimini Washington Üniversite'sinde almış. Bilgisayar destekli üretim ve bunun için yazılacak algoritmalar üzerine araştırmalar yapmış. Yaşamını heykel yaparak sürdüren sanatçı, matematiğin kendine özel estetik bir tarafı olduğuna inanıyor. Ferguson "Matematiğin kaynağı, enerjisi, zekası, sofistike yapısı estetik sanat eserlerinin yaratılışını geliştirmek üzere kullanılırsa ne olur?" sorusunun cevabını arar. Sanatçının haziran 1991'de Newyork Bilimler Akademisi'nde açılan "Bornz ve Taş Üstüne 16 Kuram" adlı sergisi bu soruya bir cevap niteliği taşıdığı söylenebilir. Ferguson yaşamsal görünümlerin tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği, bir sanat ve bilim formunda heykelleştirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelliği duyumsatarak önyargılarımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır. Bu misyonu şöyle ifade eder:

" Güzellik ve gerçek: heykellerimin birleştirip yücelttiği iki olgu. Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelliği ve zihni harekete geçiren matematiksel gerçek. Benim heykellerimin yaptığı bu."(2)
Matematiksel estetik Umbilic Torus Nist NC heykelinde vücut bulmuştur. Heykelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, antik rengi, Ferguson'un yaratıcılığı ve yetkinliği hakkında ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yanı ise onun yaratılış sürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandığı heykel formu

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
ax3+bx2y+cxy2+dy3 kübik reelbinom denkleminden elde edilir. Heykelin formu ve doku belirlendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarılır ve sayısal kontrollü oyma makinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktı geleneksel heykel teknikleriyle bronza dökülerek son halini alır.

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
Heykelin formu yanında dokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurma eğrisinin 5. dereceden uygulanması ile elde edilir (Şekil 3). Uzay doldurma eğrisi bir doğrudan bir düzleme tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Şekilde görüldüğü gibi eğri sürekli tekrarlanan bir işlemle inşa edilmektedir. Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlandığında eğrinin bir noktadan bir ve sadece bir kere geçerek düzlemi dolduracağı ispatlanabilir. Tek boyutlu eğri giderek iki boyutlu düzleme yakınsamaktadır ve bu da bizi çelişkiye götürür. Bu ve buna benzer eğriler bugün fraktallar olarak bildiğimiz yapıların temelini oluşturmuşlardır. Heykel doğduğu kuramdan daha fazlasını aktarıyor:
" Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlam düzeyine ve kendi orijininin tanımladığından daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykel değil. Ben soyut matematiğin tahmin edilemeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum."(2)
Ferguso'un heykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısından değil, onların gerisindeki ilginç kuramlardan doğuyor. Eserlerindeki yalınlık, süreklilik, yumuşaklık; bronzun, taşın ve kuramın soğukluğuna karşı duruyor.

Tanıdık Bir Sima: M.C. Escher
Son olarak MC Escher'in galerisine uğruyoruz. Bilimle ilgilenen ve popüler bilim yayınlarını takip edenler Escher'i ve onun eserlerini yakından tanır. Escher'in farklı kişiliği bu ilgiyi hak ediyor doğrusu. Sanatçı hakkında söylenegelenleri yinelemekten çekinmekle birlikte, onu gündeme getirmemizin nedeni eserlerinin matematiğin görselleşmesi konusunda verilen ilk örnekler olduğunu düşünmemiz. Sanatçının kendisi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir:

" Bizi saran belirsizlikleri göğüsleyerek ve yaptığım gözlemleri analiz ederek matematiğin egemen olduğu alana eriştim. Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim".(1)
Sanatçının çalışmalarını birer ilk yada önder olarak kabul edebiliriz. Yine de Escher'in matematiksel bir kaygıyla yola çıktığını söylemek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları yaratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden geçirirsek Escher'in işlerini birkaç grupta ele alabiliriz:

Düzlemi düzenli olarak bölmek:
Bu teknikle yaptığı resimlerinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp tanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu grupta topladığımız çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir (Şekil 4).

Metamorfozlar
Bu seride yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilir. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

Paradokslar
Escher'in en vurucu işleri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır. Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlamıştı(5). Escher'in Resim Galerisi adlı eseri kabaca bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir resim aynı anlatıma ulaşıyor!
Escher'in eserlerinin açıklığı, kolay okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır. Dikkatli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamı süresince ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher, matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Matematik ve Sanat Üzerine
Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.

Mathart: Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya aday.

Kaynaklar:
1- Bool F.H... Escher Complete Graphic Work, Thames and Hudson, 1993
2- Cannon J.W., "Mathematics in Marble and Bronze: Sculptures of Heleman R.P. Ferguson", Mathematical Intelliger, cilt: 13, sayı: 1, kış 1991
3- Coxeter H.S.M, Escher: Art and Science, Elsevier Science Publishers, 1986
4- Fomenko A., Mathematical Inspirations, American Mathematical Society Press, 1990.
5- Hofstadler D.R, Gödel esher and Bach: The Eternal Golden Braid, Vintage Books Edition, 1980.
6- Kappraff J., Conecttons: The Geometric Bridge between Art and Sciences, Mc GrawHill Pub. Co., 1991.
7- Nargel E., Newman J.R., çev: Gözkan B., Gödel Kanıtlaması, Sarmal yayınevi, 1994.